Ануїтет виплачує €2 000 наприкінці кожного року протягом 17 років. Процентна ставка 8 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €2 000i = 8%n = 17
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2006% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €4 000, €7 000, €7 000, €9 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €22 000 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €22 000g = 2%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 5 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5% до 4,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 5y1 = 5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 8%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 3%n = 4YTM = 8%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €12 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 7,5%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €37,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 54,8?
μ = 50σ = 8x = 54,8
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 12p = 0,3
P =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 35,8 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,8 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів80%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 84 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 85,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,1 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?
p ≈ 0,1E = 0,02595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 498,5 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,5s = 5n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 64 вимірювань має середнє 116,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 116,4σ = 15n = 6495%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 19.
n = 5x = 19
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 18243 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2703)/0,08 = 9,122
Теперішня вартість
PV = 2 000·9,122 = €18 243,28
Відповідь
PV = €18 243,28
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 186908 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 4 000/1,06 = 3 773,58
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 7 000/1,191 = 5 877,33
CF4/(1 + 0,06)4 = 9 000/1,262 = 7 128,84
Додайте
NPV = €3 009,74
Відповідь
NPV = €3 009,74
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −64380 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 22,55 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78
t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44
t = 3: 30/1,26 = 23,81, t·PV = 71,44
t = 4: 1030/1,36 = 757,08, t·PV = 3 028,32
Дюрація
P = 834,39
D = 3 178,99/834,39 = 3,81
Відповідь
D = 3,81 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,08 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Відповідь
P = 0,7257
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 4,96
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,712 = 0,01384
P(X = 1) = 12·0,3·0,711 = 0,07118
Додайте
P = 0,01384 + 0,07118 = 0,08503
Відповідь
P = 0,08503
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,06426
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426
Відповідь
P = 0,06426
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 73,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,8
z з таблиці
z ≈ 0,84
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 0,84·10 = 73,4 балів
Відповідь
x = 73,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −4,282 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 84 − 85,5 = −1,5
Стандартна похибка
SE = √(6²/40 + 14²/100) = 1,691
Похибка оцінки
E = 1,645·1,691 = 2,782
Інтервал
−1,5 ± 2,782 → [−4,282, 1,282]
Відповідь
нижня межа = −4,282 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 554
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,025² = 553,2
Округліть угору
n = 554
Відповідь
n = 554
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Статистика критерію
t = (498,5 − 500)/0,8333 = −1,8
Відповідь
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 112,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·15/√64 = 3,675
Межа інтервалу
L = 116,4 − 3,675 = 112,7
Відповідь
L = 112,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9419
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 81/5 = 16,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,8
Коефіцієнт кореляції
r = −29/√(10·94,8) = −0,9419
Відповідь
r = −0,9419
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 65,35
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 344/5 = 68,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138
Лінія регресії
b = 138/40 = 3,45
a = 68,8 − 3,45·20 = −0,2
ŷ = −0,2 + 3,45·x
Прогноз
ŷ = −0,2 + 3,45·19 = 65,35
Відповідь
ŷ = 65,35
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.