Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 13 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 7%n = 13
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €25 0003% / 12N = 36
I = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €19 000 наприкінці кожного року протягом 5 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF = €19 000S = €20 000n = 5r = 6%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €14 000, €17 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 17 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 5,5%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €980 з дохідністю до погашення 3% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 4,8 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 50 базисних пунктів.
P0 = €980y = 3%D = 4,8Δy = −50 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 28%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 30.
μ = 60σ = 15x = 30
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 7 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
7 / 8
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,1 і €50 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€10: p = 0,1€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9722. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9722
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,8. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?
90%n₁ = 25E₁ = 3,895%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 25 ділянок, середній урожай 26 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 30 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 79,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 10 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 82,9 mm, відоме стандартне відхилення 7 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 85,8. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 80μ = 85,8σ = 20n = 100α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 75Σx² = 55Σy² = 1219Σxy = 196
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 15)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 4179 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,415)/0,07 = 8,358
Теперішня вартість
PV = 500·8,358 = €4 178,83
Відповідь
PV = €4 178,83
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: I = 1173 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,0025, N = 36
A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−36) = €727,03
Усього відсотків
I = N·A − P = 36·727 − 25 000 = €1 173,09
Відповідь
I = €1 173,09
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 14980 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 406,43
NPV(20%) = −1 180,56
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0275, N = 8
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €106,41
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8049 = €804,91
Ціна
P = €911,32
Відповідь
P = €911,32
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1003 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 4,8/1,03 = 4,66
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −4,66·(−0,005) = 2,33%
P ≈ 980·(1 + 0,0233) = €1 002,83
Відповідь
P = €1 002,83
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,4 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 6,4%
Відповідь
WACC = 6,4%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 14,22 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,4/(1 + 0,72·0,4) = 1,087
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,087·(1 + 0,72·0,75) = 1,674
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,674·7% = 14,22%
Відповідь
re = 14,22%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 19,48
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (30 − 60)/15 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2
Відповідь
P = 0,2
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −3,5 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 5 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 5·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −3,5 €
Відповідь
E(G) = −3,5 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 2,2
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9722)/2 = 0,9861
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9861 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 2,20
Відповідь
z = 2,20
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 166,5 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Відповідь
x = 166,49 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 4,528
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191
Нова похибка
E₂ = 3,8·1,191 = 4,528
Відповідь
E₂ = 4,528
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 1,941 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (24·8² + 5·6²)/29 = 59,17
sp = 7,692
Похибка оцінки
E = 1,699·7,692·√(1/25 + 1/6) = 5,941
Інтервал
−4 ± 5,941 → [−9,941, 1,941]
Відповідь
верхня межа = 1,941 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,416
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(10²/100 + 7²/50) = √1,98 = 1,407
Статистика критерію
z = (79,5 − 82,9)/1,407 = −2,416
Відповідь
z = −2,416
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 89,53 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 80 + 1,645·2 = 83,29
z при справжньому середньому
z = (83,29 − 85,8)/2 = −1,255
Потужність
потужність = P(Z > −1,255) = 89,53%
1 − β = 89,53%
Відповідь
1 − β = 89,53%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9459
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 196 − 15·75/5 = −29
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1219 − 75²/5 = 94
Коефіцієнт кореляції
r = −29/√(10·94) = −0,9459
Відповідь
r = −0,9459
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,65
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Лінія регресії
b = −19/10 = −1,9
a = 19,6 − (−1,9)·3 = 25,3
ŷ = 25,3 − 1,9·x
Прогнозоване значення
ŷ = 25,3 + (−1,9)·3,5 = 18,65
Залишок
e = 15 − 18,65 = −3,65
Відповідь
e = −3,65
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.