Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 ΩR5 = 20 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 10 VIx​Is​1,5 AAR1​10 ΩR2​2 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть струм Ix через джерело напруги від A до B, як показує стрілка.

Is = 1,5 AVs = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 2 Ω
Ix = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​18 VR3​30 ΩAR5​10 ΩBIs​4 A+−V2​5 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 18 VIs = 4 AV2 = 5 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 ΩR5 = 10 Ω
VB = V
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 4 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​6 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I1 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 6 VV2 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 Ω
I1 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 6 ΩR2​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR4​2 ΩAR5​2 ΩB+−V2​6 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 36 VV2 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩIR2​AR4​12 ΩBIs​1,5 A

За методом накладання знайдіть потужність PR2, яку споживає R2.

V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 12 Ω
PR2 = W
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩIR2​R4​ = 8 Ω+−V1​36 VR3​20 ΩAIs​2 AB+−V2​5 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 36 VIs = 2 AV2 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩARL​8 ΩIL​B

До a–b підключено навантаження RL = 8 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​1 ABRL​2 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 2 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
IL = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 4,7 kΩVin​ = −0,3 V

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = −0,3 VR1 = 4,7 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1,4 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 0,9 VR2​ = 1 kΩIf​

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм If через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V1 = 1,4 VV2 = 0,9 VR1 = 4,7 kΩR2 = 1 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 47 Ωt = 0L100 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 2 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 1 A? Знайдіть t.

i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 100 mH
t = ms
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 2,2 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 8,6 V? Знайдіть t.

Vs = 10 VR = 2,2 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 V
t = ms

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 7,357 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 3·11/(3+11) = 2,357 Ω
Req = R1 + 2,357 = 5 + 2,357 = 7,357 Ω

Відповідь

Req = 7,357 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,1 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 20 + 25 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 11,25 Ω
R3 + 11,25 = 21,25 Ω
R2 ∥ 21,25 = 1,828 Ω
Req = R1 + 1,828 = 20 + 1,828 = 21,83 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/21,83 = 1,1 A

Відповідь

IR1 = 1,1 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Ix = 2,083 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 10
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/10 + (VA + 10)/2 = 1,5
VA = (1,5 − 10/2)/(1/10 + 1/2) = −5,833 V
VB = −5,833 + 10 = 4,167 V

Струм через джерело напруги

Усе, що проходить через джерело від A до B, виходить з вузла B через R₂.

Ix = VB/R2 = 4,167/2 = 2,083 A

Відповідь

Ix = 2,083 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 21,75 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​18 VR3​30 ΩAR5​10 ΩBIs​4 A+−V2​5 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 18 V, V2 = 5 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 18)/30 + (VA − VB)/3 = 0
0,4·VA − 0,3333·VB = 0,6

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/10 + (VB − VA)/3 + (VB − 5)/15 = 4
−0,3333·VA + 0,5·VB = 4,333

Розв’яжіть

Δ = (0,4)(0,5) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,08889
VA = Δ1/Δ = 1,744/0,08889 = 19,63 V
VB = Δ2/Δ = 1,933/0,08889 = 21,75 V

Відповідь

VB = 21,75 V
5.Метод контурних струмів

Відповідь: I1 = −1,453 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 4 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​6 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 12(I1 − I2) = 6
16·I1 − 12·I2 = 6

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 17·I2 = −24

Розв’яжіть

Δ = (16)(17) − (−12)(−12) = 128
I1 = Δ1/Δ = −186/128 = −1,453 A
I2 = Δ2/Δ = −312/128 = −2,438 A

Відповідь

I1 = −1,453 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = −0,1972 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 6 ΩR2​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR4​2 ΩAR5​2 ΩB+−V2​6 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
6·I1 + 2(I1 − I2) = 36
8·I1 − 2·I2 = 36

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
3·I2 + 2(I2 − I1) + 2(I2 − I3) = 0
−2·I1 + 7·I2 − 2·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
15·I3 + 2(I3 − I2) = (−6)
−2·I2 + 17·I3 = −6

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 852
I1 = Δ1/Δ = 4116/852 = 4,831 A
I2 = Δ2/Δ = 1128/852 = 1,324 A
I3 = Δ3/Δ = −168/852 = −0,1972 A

Відповідь

I3 = −0,1972 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: PR2 = 32,42 W

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​12 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 2+12 = 14 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω
VA = 18·1,75/(3+1,75) = 6,632 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6,632·12/14 = 5,684 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (6,632 − 0)/2 = 3,316 A
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​2 ΩAR4​12 ΩBIs​1,5 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 3·2/(3+2) = 1,2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 3,2 = 2,526 Ω
VB = Is·Req = 1,5·2,526 = 3,789 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 3,789·1,2/3,2 = 1,421 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (1,421 − 0)/2 = 0,7105 A

Додайте внески струму

IR2 = IR2′ + IR2″ = 3,316 + 0,7105 = 4,026 A

Потужність у резисторі

Потужність залежить від квадрата струму, тож метод накладання до неї не застосовний: спочатку додайте струми, потім піднесіть до квадрата.

PR2 = IR2²·R2 = 4,026²·2 = 32,42 W

Відповідь

PR2 = 32,42 W

Сума потужностей окремих випадків дала б 23 W, а це неправильно.

8.Метод накладання

Відповідь: IR2 = −0,1011 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​36 VR3​20 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 20 ∥ 23 = 10,7 Ω
VA = 36·10,7/(10+10,7) = 18,61 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 18,61·8/23 = 6,472 V
IR2′ = (VB − VA)/R2 = (6,472 − 18,61)/15 = −0,809 A
R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​20 ΩAIs​2 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 6,667 Ω, тож лівий шлях — R2+6,667 = 21,67 Ω
Req = R4 ∥ 21,67 = 5,843 Ω
VB = Is·Req = 2·5,843 = 11,69 V
VA = VB·6,667/21,67 = 3,596 V
IR2″ = (VB − VA)/R2 = (11,69 − 3,596)/15 = 0,5393 A
R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​20 ΩAОБРИВB+−V2​5 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 5·21,67/29,67 = 3,652 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,652·6,667/21,67 = 1,124 V
IR2‴ = (VB − VA)/R2 = (3,652 − 1,124)/15 = 0,1685 A

Додайте складові

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = (−0,809) + 0,5393 + 0,1685 = −0,1011 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,6 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​20 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 2 = 12 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·20/(20+20) = 12 V
Rth​ = 12 Ω+−Vth​12 VRL​8 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 12/(12 + 8) = 0,6 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = −0,7604 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​2 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 10 = 11,71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,286 + (−1)·1,714 = −0,4286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −0,4286 + (−1)·10 = −10,43 V
Rth​ = 11,71 Ω−+Vth​10,43 VRL​2 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = −10,43/(11,71 + 2) = −0,7604 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −6,683 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = −0,3 V
I = V₋/R1 = −0,3/4,7 = −0,06383 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = −0,3 + (−0,06383)·100 = −6,683 V

Відповідь

Vout = −6,683 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: If = 1,198 mA

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = 1,4/4,7 = 0,2979 mA
I2 = V2/R2 = 0,9/1 = 0,9 mA
If = I1 + I2 = 1,198 mA

Відповідь

If = 1,198 mA
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,475 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

Виразіть час

1 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/1)
t = 2,128·ln(2) = 1,475 ms

Відповідь

t = 1,475 ms
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 172,6 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

Виразіть час

8,6 = 10 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (8,6 − 10)/(8 − 10) = 0,7
t = τ·ln((8 − 10)/(8,6 − 10)) = 484·ln(1,429) = 172,6 ms

Відповідь

t = 172,6 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1