Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​2 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 3 VIx​Is​2,5 AAR1​6 ΩR2​4 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть струм Ix через джерело напруги від A до B, як показує стрілка.

Is = 2,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 4 Ω
Ix = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​20 ΩBIs​?

Джерело струму регулюють, доки вузлова напруга в A не стане VA = 15 V. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм джерела Is (напрямок як на схемі).

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩVA = 15 V
Is = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 10 ΩR2​ = 20 ΩIR2​+−V1​15 VR3​2 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VV2 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
IR2 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 8 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 36 VV2 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​5 Ω+−VR2​AR4​10 ΩBIs​2 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
VR2 = V
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 4 ΩR2​ = 15 ΩIR2​R4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​12 ΩAIs​1,5 AB+−V2​12 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VIs = 1,5 AV2 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab

Знайдіть опір Тевенена Rth з боку затискачів a–b.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​1 ABRL​4 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 4 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩRL = 4 Ω
IL = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 22 kΩVin​ = 0,4 V

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = 0,4 VR1 = 22 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0,1 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = −0,7 VR2​ = 2 kΩIf​

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм If через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V1 = −0,1 VV2 = −0,7 VR1 = 4,7 kΩR2 = 2 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 22 Ωt = 0L47 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 0,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,25 A? Знайдіть t.

i(0) = 0,5 AR = 22 ΩL = 47 mH
t = ms
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​12 Vрозмикається при t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 6,8 kΩi2​C100 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i2 через R2 при t = 250 ms.

Vs = 12 VR1 = 3,3 kΩR2 = 6,8 kΩC = 100 µFt = 250 ms
i2 = mA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,058 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​20 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 5·28/(5+28) = 4,242 Ω
Req = R1 + 4,242 = 15 + 4,242 = 19,24 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/19,24 = 1,247 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,247·15 = 5,291 V
IR2 = VA/R2 = 5,291/5 = 1,058 A

Відповідь

IR2 = 1,058 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 18,51 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​2 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 2 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 8,108 Ω
R3 + 8,108 = 28,11 Ω
R2 ∥ 28,11 = 14,51 Ω
Req = R1 + 14,51 = 4 + 14,51 = 18,51 Ω

Відповідь

Req = 18,51 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Ix = 1,8 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/6 + (VA + 3)/4 = 2,5
VA = (2,5 − 3/4)/(1/6 + 1/4) = 4,2 V
VB = 4,2 + 3 = 7,2 V

Струм через джерело напруги

Усе, що проходить через джерело від A до B, виходить з вузла B через R₂.

Ix = VB/R2 = 7,2/4 = 1,8 A

Відповідь

Ix = 1,8 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Is = 7 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

VA відоме, тож це рівняння дає VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(15 − 10)/8 + 15/6 = (VB − 15)/20
3,125 = (VB − 15)/20 → VB = 77,5 V

ЗСК для вузла B

Струми, що виходять з B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (77,5 − 15)/20 + 77,5/20 = 7 A

Відповідь

Is = 7 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: IR2 = −0,4385 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​2 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 2(I1 − I2) = 15
12·I1 − 2·I2 = 15

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 2(I2 − I1) = (−12)
−2·I1 + 22·I2 = −12

Розв’яжіть

Δ = (12)(22) − (−2)(−2) = 260
I1 = Δ1/Δ = 306/260 = 1,177 A
I2 = Δ2/Δ = −114/260 = −0,4385 A

Відповідь

IR2 = I2 = −0,4385 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = −2,768 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 8 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 5(I1 − I2) = 36
13·I1 − 5·I2 = 36

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
30·I2 + 5(I2 − I1) + 10(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 45·I2 − 10·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
2·I3 + 10(I3 − I2) = (−30)
−10·I2 + 12·I3 = −30

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 5420
I1 = Δ1/Δ = 14340/5420 = 2,646 A
I2 = Δ2/Δ = −1740/5420 = −0,321 A
I3 = Δ3/Δ = −15000/5420 = −2,768 A

Відповідь

I3 = −2,768 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: VR2 = 8,976 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 4+10 = 14 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω
VA = 12·3,684/(3+3,684) = 6,614 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6,614·10/14 = 4,724 V
VR2′ = VA − 0 = 6,614 − 0 = 6,614 V
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​5 ΩAR4​10 ΩBIs​2 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 10 ∥ 5,875 = 3,701 Ω
VB = Is·Req = 2·3,701 = 7,402 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 7,402·1,875/5,875 = 2,362 V
VR2″ = VA − 0 = 2,362 − 0 = 2,362 V

Додайте складові

VR2 = VR2′ + VR2″
VR2 = 6,614 + 2,362 = 8,976 V

Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.

8.Метод накладання

Відповідь: IR2 = −0,75 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 4 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​12 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 12 ∥ 23 = 7,886 Ω
VA = 6·7,886/(4+7,886) = 3,981 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,981·8/23 = 1,385 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (3,981 − 1,385)/15 = 0,1731 A
R1​ = 4 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​12 ΩAIs​1,5 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 3 Ω, тож лівий шлях — R2+3 = 18 Ω
Req = R4 ∥ 18 = 5,538 Ω
VB = Is·Req = 1,5·5,538 = 8,308 V
VA = VB·3/18 = 1,385 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (1,385 − 8,308)/15 = −0,4615 A
R1​ = 4 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​12 ΩAОБРИВB+−V2​12 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 12·18/26 = 8,308 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 8,308·3/18 = 1,385 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (1,385 − 8,308)/15 = −0,4615 A

Додайте складові

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = 0,1731 + (−0,4615) + (−0,4615) = −0,75 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: Rth = 20,57 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​20 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 12 = 20,57 Ω
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = −0,5476 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​8 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,8 + 8 = 12,8 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,6 + (−1)·4,8 = −1,2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1,2 + (−1)·8 = −9,2 V
Rth​ = 12,8 Ω−+Vth​9,2 VRL​4 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = −9,2/(12,8 + 4) = −0,5476 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 0,8 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = 0,4 V
I = V₋/R1 = 0,4/22 = 0,01818 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = 0,4 + 0,01818·22 = 0,8 V

Відповідь

Vout = 0,8 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: If = −0,3713 mA

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = −0,1/4,7 = −0,02128 mA
I2 = V2/R2 = −0,7/2 = −0,35 mA
If = I1 + I2 = −0,3713 mA

Відповідь

If = −0,3713 mA
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,481 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2,136 ms

Виразіть час

0,25 = 0,5·e−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,25)
t = 2,136·ln(2) = 1,481 ms

Відповідь

t = 1,481 ms
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i2 = 0,8226 mA

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 12·6,8/(3,3 + 6,8) = 8,079 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 6,8·100 = 680 ms

Розряджання

vC(t) = 8,079·e−250/680 = 5,594 V
i2 = vC/R2 = 5,594/6,8 = 0,8226 mA

Відповідь

i2 = 0,8226 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1