Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBIs​5 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
VB = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 6 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBIs​?

Джерело струму регулюють, доки вузлова напруга в A не стане VA = 22,5 V. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм джерела Is (напрямок як на схемі).

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩVA = 22,5 V
Is = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 15 ΩIR1​R2​ = 6 Ω+−V1​10 VR3​6 ΩA+−V2​15 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 10 VV2 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
IR1 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 10 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR4​8 Ω+−VR4​AR5​30 ΩB+−V2​9 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти напругу VR4 на R4 з указаною полярністю.

V1 = 12 VV2 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 Ω
VR4 = V
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 ΩIR3​+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBIs​?

Знайдіть значення джерела струму Is (напрямок як на схемі), за якого струм IR3 через R3 дорівнює нулю.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
Is = A
8.Метод накладанняСкладна
лінійне колоV1​V2​Is​IRL​

Лінійне резистивне коло містить три незалежні джерела: V1, V2 і Is. Струм I через навантаження виміряли тричі. Коли всі джерела мають звичайні значення, I = 13 mA. Коли V1 подвоєне, а два інші без змін, I = 18,5 mA. Коли напрямок Is змінено на протилежний, а два інші без змін, I = 1 mA. Знайдіть струм навантаження I, коли V2 вимкнене, а V1 і Is мають звичайні значення.

звичайні значення: I = 13 mA2·V1: I = 18,5 mA−Is: I = 1 mA
I = mA
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩARL​20 ΩIL​B

До a–b підключено навантаження RL = 20 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩRL = 20 Ω
IL = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​1,5 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 9 VIs = 1,5 AR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩR1​ = 1 kΩVin​

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±12 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу Vin,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R1 = 1 kΩRf = 4,7 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0,7 VR1​ = 100 kΩV2​ = −0,7 VR2​ = 4,7 kΩIf​

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм If через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V1 = 0,7 VV2 = −0,7 VR1 = 100 kΩR2 = 4,7 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 33 Ωt = 0L33 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу vR на R при t = 1 ms.

i(0) = 3 AR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vR = V
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​12 Vt = 0R = 2,2 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 60 ms.

Vs = 12 VR = 2,2 kΩC = 10 µFvC(0) = 30 Vt = 60 ms
vC = V

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,8265 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 3 + 15 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
Req = R1 + 5,538 = 2 + 5,538 = 7,538 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/7,538 = 1,194 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,194·2 = 6,612 V
IR2 = VA/R2 = 6,612/8 = 0,8265 A

Відповідь

IR2 = 0,8265 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,7475 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 4 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 4,2 Ω
R3 + 4,2 = 9,2 Ω
R2 ∥ 9,2 = 7,041 Ω
Req = R1 + 7,041 = 5 + 7,041 = 12,04 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,04 = 0,7475 A

Відповідь

IR1 = 0,7475 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = −13,82 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBIs​5 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 10 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 10)/5 + (VA − VB)/2 = 0
0,8667·VA − 0,5·VB = 2

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/2 = (−5)
−0,5·VA + 0,5667·VB = −5

Розв’яжіть

Δ = (0,8667)(0,5667) − (−0,5)(−0,5) = 0,2411
VA = Δ1/Δ = −1,367/0,2411 = −5,668 V
VB = Δ2/Δ = −3,333/0,2411 = −13,82 V

Відповідь

VB = −13,82 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Is = 10,69 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

VA відоме, тож це рівняння дає VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(22,5 − 24)/6 + 22,5/5 = (VB − 22,5)/25
4,25 = (VB − 22,5)/25 → VB = 128,8 V

ЗСК для вузла B

Струми, що виходять з B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (128,8 − 22,5)/25 + 128,8/20 = 10,69 A

Відповідь

Is = 10,69 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: IR1 = 0,1389 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 15 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​10 VR3​6 ΩA+−V2​15 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
15·I1 + 6(I1 − I2) = 10
21·I1 − 6·I2 = 10

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 6(I2 − I1) = (−15)
−6·I1 + 12·I2 = −15

Розв’яжіть

Δ = (21)(12) − (−6)(−6) = 216
I1 = Δ1/Δ = 30/216 = 0,1389 A
I2 = Δ2/Δ = −255/216 = −1,181 A

Відповідь

IR1 = I1 = 0,1389 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: VR4 = 5,604 V

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR4​8 ΩAR5​30 ΩB+−V2​9 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
10·I1 + 8(I1 − I2) = 12
18·I1 − 8·I2 = 12

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 8(I2 − I1) + 30(I2 − I3) = 0
−8·I1 + 43·I2 − 30·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 30(I3 − I2) = (−9)
−30·I2 + 42·I3 = −9

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 13620
I1 = Δ1/Δ = 8712/13620 = 0,6396 A
I2 = Δ2/Δ = −828/13620 = −0,06079 A
I3 = Δ3/Δ = −3510/13620 = −0,2577 A

Відповідь

IR4 = I1 − I2 = 0,7004 A
VR4 = IR4·R4 = 0,7004·8 = 5,604 V

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: Is = 2,118 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 8+8 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω
VA = 24·6,857/(5+6,857) = 13,88 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 13,88·8/16 = 6,94 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (13,88 − 6,94)/8 = 0,8675 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ ∥ R₂ з’єднує A із землею. Iₛ розгалужується у вузлі B між R₄ і шляхом R₃ + R₁∥R₂; частина через R₃ тече від B до A, проти стрілки.

R1 ∥ R2 = 3,529 Ω
IR3″ = −Is·R4/(R4 + R3 + R1∥R2) = −Is·8/19,53 = −0,4096·Is

Прирівняйте суму до нуля

IR3′ + IR3″ = 0,8675 − 0,4096·Is = 0
Is = 0,8675/0,4096 = 2,118 A

Відповідь

Is = 2,118 A
8.Метод накладання

Відповідь: I = 11,5 mA

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

Запишіть вимірювання через внески

Кожен внесок пропорційний своєму джерелу.

I₁ + I₂ + I₃ = 13
2·I₁ + I₂ + I₃ = 18,5
I₁ + I₂ − I₃ = 1

Знайдіть внески

I₁ = 18,5 − 13 = 5,5 mA
I₃ = (13 − 1)/2 = 6 mA
I₂ = 13 − 5,5 − 6 = 1,5 mA

Вимкніть V₂

I = I₁ + I₃ = 5,5 + 6 = 11,5 mA

Відповідь

I = 11,5 mA
9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,0878 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​4 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 20 = 23,16 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·4/(15+4) = 3,789 V
Rth​ = 23,16 Ω+−Vth​3,789 VRL​20 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 3,789/(23,16 + 20) = 0,0878 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 51,25 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩКЗR2​25 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,167 + 25 = 29,17 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​1,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 1,5·4,167 = 13,75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,75 + 1,5·25 = 51,25 V
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vin,max = 2,105 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 4,7/1 = 5,7

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/5,7 = 2,105 V

Відповідь

Vin,max = 2,105 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: If = −0,1419 mA

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = 0,7/100 = 0,007 mA
I2 = V2/R2 = −0,7/4,7 = −0,1489 mA
If = I1 + I2 = −0,1419 mA

Відповідь

If = −0,1419 mA
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vR = 36,42 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

Спадання струму

i(t) = 3·e−1/1 = 1,104 A
vR = R·i = 33·1,104 = 36,42 V

Відповідь

vR = 36,42 V
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 13,18 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 12 + (30 − 12)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(60) = 12 + (18)·e−60/22 = 13,18 V

Відповідь

vC = 13,18 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1