Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​5 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 25 ΩR5 = 12 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​3 ΩBIs​3 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 10 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
VB = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 8 ΩIR4​+−V1​15 VR3​2 ΩAR5​15 ΩBIs​5 A+−V2​24 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR4 через R4 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VIs = 5 AV2 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 Ω
IR4 = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 5 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​6 VR3​3 Ω+−VR3​A+−V2​30 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти напругу VR3 на R3 з указаною полярністю.

V1 = 6 VV2 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 Ω
VR3 = V
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 30 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​10 VR4​2 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 10 VV2 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 2 ΩR5 = 20 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​4 ΩBIs​3 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 30 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​15 VR3​10 ΩIR3​AIs​4 AB+−V2​?

Знайдіть значення джерела напруги V2 (полярність як на схемі), за якого струм IR3 через R3 дорівнює нулю.

V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 30 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
V2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 18 VIs = 0,5 AR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4,7 kΩVin​

Підберіть резистор зворотного зв’язку Rf, щоб цей неінвертувальний підсилювач мав коефіцієнт підсилення за напругою 4.

R1 = 4,7 kΩAv = 4
Rf = kΩ
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0,1 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0,3 VR2​ = 22 kΩ

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = 0,1 VV2 = 0,3 VR1 = 1 kΩR2 = 22 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 100 ΩL150 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 2 ms.

Vs = 5 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms
vL = V
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​12 VR1​ = 20 ΩR2​ = 10 Ωрозмикається при t = 0L33 mHi(t)

Ключ паралельно R2 був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

Vs = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,7789 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω
Req = R1 + 8,108 = 15 + 8,108 = 23,11 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/23,11 = 0,7789 A

Відповідь

IR1 = 0,7789 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,7515 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 12 + 5 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 10,12 Ω
R3 + 10,12 = 12,12 Ω
R2 ∥ 12,12 = 3,007 Ω
Req = R1 + 3,007 = 15 + 3,007 = 18,01 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/18,01 = 0,9996 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0,9996·15 = 3,006 V
IR2 = VA/R2 = 3,006/4 = 0,7515 A

Відповідь

IR2 = 0,7515 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = −5,535 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​3 ΩBIs​3 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 10 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 10)/6 + (VA − VB)/6 = 0
0,5333·VA − 0,1667·VB = 1,667

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/6 = (−3)
−0,1667·VA + 0,5·VB = −3

Розв’яжіть

Δ = (0,5333)(0,5) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,2389
VA = Δ1/Δ = 0,3333/0,2389 = 1,395 V
VB = Δ2/Δ = −1,322/0,2389 = −5,535 V

Відповідь

VB = −5,535 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR4 = −0,5517 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 3 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​15 VR3​2 ΩAR5​15 ΩBIs​5 A+−V2​24 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 15 V, V2 = 24 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/2 + (VA − 15)/3 + (VA − VB)/2 = 0
1,333·VA − 0,5·VB = 5

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/2 + (VB − 24)/8 = 5
−0,5·VA + 0,6917·VB = 8

Розв’яжіть

Δ = (1,333)(0,6917) − (−0,5)(−0,5) = 0,6722
VA = Δ1/Δ = 7,458/0,6722 = 11,1 V
VB = Δ2/Δ = 13,17/0,6722 = 19,59 V

Відповідь

IR4 = (VB − V2)/R4 = (19,59 − 24)/8 = −0,5517 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: VR3 = 15,68 V

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 5 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
5·I1 + 3(I1 − I2) = 6
8·I1 − 3·I2 = 6

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
2·I2 + 3(I2 − I1) = (−30)
−3·I1 + 5·I2 = −30

Розв’яжіть

Δ = (8)(5) − (−3)(−3) = 31
I1 = Δ1/Δ = −60/31 = −1,935 A
I2 = Δ2/Δ = −222/31 = −7,161 A

Відповідь

IR3 = I1 − I2 = 5,226 A
VR3 = IR3·R3 = 5,226·3 = 15,68 V

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = −0,3285 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 30 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​10 VR4​2 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
30·I1 + 2(I1 − I2) = 10
32·I1 − 2·I2 = 10

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 2(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−2·I1 + 27·I2 − 20·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 20(I3 − I2) = (−12)
−20·I2 + 50·I3 = −12

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 30200
I1 = Δ1/Δ = 9020/30200 = 0,2987 A
I2 = Δ2/Δ = −6680/30200 = −0,2212 A
I3 = Δ3/Δ = −9920/30200 = −0,3285 A

Відповідь

I3 = −0,3285 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR1 = 0,8313 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​4 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 12+4 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω
VA = 15·6,857/(5+6,857) = 8,675 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 8,675·4/16 = 2,169 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (15 − 8,675)/5 = 1,265 A
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​12 ΩAR4​4 ΩBIs​3 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 4 ∥ 15,53 = 3,181 Ω
VB = Is·Req = 3·3,181 = 9,542 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 9,542·3,529/15,53 = 2,169 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 2,169)/5 = −0,4337 A

Додайте складові

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 1,265 + (−0,4337) = 0,8313 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: V2 = 51,5 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 30 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​15 VR3​10 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 10 ∥ 17 = 6,296 Ω
VA = 15·6,296/(30+6,296) = 2,602 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,602·15/17 = 2,296 V
R1​ = 30 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 ΩКЗR3​10 ΩAIs​4 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃. Стрілка Iₛ спрямована вниз, від його вузла, тож Iₛ відбирає струм із цього вузла: його доданок входить зі знаком мінус.

R1 ∥ R3 = 7,5 Ω, тож лівий шлях — R2+7,5 = 9,5 Ω
Req = R4 ∥ 9,5 = 5,816 Ω
VB = −Is·Req = −4·5,816 = −23,27 V
VA = VB·7,5/9,5 = −18,37 V

Випадок 3 · діє лише V2, на один вольт

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 7,5 Ω
VA‴ = V2·7,5/(15 + 2 + 7,5) = 0,3061·V2

Прирівняйте VA до нуля

При VA = 0 напруга на R₃ відсутня, тож струм через нього дорівнює нулю.

VA′ + VA″ + VA‴ = 2,602 + (−18,37) + 0,3061·V2 = 0
V2 = 15,77/0,3061 = 51,5 V

Відповідь

V2 = 51,5 V
9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,5921 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 20 = 21,71 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·12/(2+12) = 12,86 V
IN​0,5921 ARth​21,71 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 12,86/21,71 = 0,5921 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,86 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​4 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 20 = 22,22 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 0,5·2,222 = 9,111 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,111 + 0,5·20 = 19,11 V
IN​0,86 ARth​22,22 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 19,11/22,22 = 0,86 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Rf = 14,1 kΩ

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊ = Vin, а струм через R₁ тече й через Rf, тож Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (4 − 1)·4,7 = 14,1 kΩ

Відповідь

Rf = 14,1 kΩ
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −1,136 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = 0,1/1 = 0,1 mA
I2 = V2/R2 = 0,3/22 = 0,01364 mA
If = I1 + I2 = 0,1136 mA

Вихідна напруга

Vout = −Rf·If = −10·0,1136 = −1,136 V

Відповідь

Vout = −1,136 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 1,318 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1,5 ms
i(∞) = Vs/R = 5/100 = 0,05 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−2/1,5 = 1,318 V

Відповідь

vL = 1,318 V
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,4806 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 12/20 = 0,6 A
i(∞) = 12/(20 + 10) = 0,4 A
τ = L/R = 33/30 = 1,1 ms
i(t) = 0,4 + (0,6 − 0,4)·e−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,4 + (0,2)·e−1/1,1 = 0,4806 A

Відповідь

i = 0,4806 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1