Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​30 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 ΩR5 = 2 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 5 VIs​1,5 AAR1​15 ΩR2​20 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VB (відносно землі).

Is = 1,5 AVs = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 20 Ω
VB = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 10 ΩR2​ = 8 ΩIR2​R4​ = 10 Ω+−V1​6 VR3​10 ΩAR5​6 ΩBIs​4 A+−V2​18 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VIs = 4 AV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 ΩR5 = 6 Ω
IR2 = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 2 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​9 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I2 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 9 VV2 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
I2 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 25 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩIR3​+−V1​12 VR4​4 ΩAR5​20 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 12 VV2 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 Ω
IR3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩIR3​+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBIs​?

Знайдіть значення джерела струму Is (напрямок як на схемі), за якого струм IR3 через R3 дорівнює нулю.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
Is = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​10 VR3​10 ΩIR3​AIs​2 AB+−V2​?

Знайдіть значення джерела напруги V2 (полярність як на схемі), за якого струм IR3 через R3 дорівнює нулю.

V1 = 10 VIs = 2 AR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 25 Ω
V2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩARL​8 ΩIL​B

До a–b підключено навантаження RL = 8 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​0,5 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 5 VIs = 0,5 AR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 4,5 VRa​ = 100 kΩRb​ = 4,7 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = 4,5 VRa = 100 kΩRb = 4,7 kΩR1 = 2 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1,8 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1,5 VR2​ = 47 kΩ

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = 1,8 VV2 = 1,5 VR1 = 10 kΩR2 = 47 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​20 Vt = 0R = 50 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

Vs = 20 VR = 50 ΩL = 22 mH
W(∞) = mJ
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 VR1​ = 20 ΩR2​ = 15 Ωзамикається при t = 0L47 mHi(t)

Ключ паралельно R2 був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R2. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

Vs = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,243 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 5·28/(5+28) = 4,242 Ω
Req = R1 + 4,242 = 3 + 4,242 = 7,242 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/7,242 = 1,243 A

Відповідь

IR1 = 1,243 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,9 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​30 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 2 + 30 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 2,743 Ω
R3 + 2,743 = 10,74 Ω
R2 ∥ 10,74 = 2,345 Ω
Req = R1 + 2,345 = 10 + 2,345 = 12,35 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/12,35 = 2,43 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,43·10 = 5,699 V
IR2 = VA/R2 = 5,699/3 = 1,9 A

Відповідь

IR2 = 1,9 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 15,71 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/15 + (VA + 5)/20 = 1,5
VA = (1,5 − 5/20)/(1/15 + 1/20) = 10,71 V
VB = 10,71 + 5 = 15,71 V

Відповідь

VB = 15,71 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR2 = 0,6716 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 10 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​6 VR3​10 ΩAR5​6 ΩBIs​4 A+−V2​18 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V, V2 = 18 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/10 + (VA − 6)/10 + (VA − VB)/8 = 0
0,325·VA − 0,125·VB = 0,6

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/8 + (VB − 18)/10 = (−4)
−0,125·VA + 0,3917·VB = −2,2

Розв’яжіть

Δ = (0,325)(0,3917) − (−0,125)(−0,125) = 0,1117
VA = Δ1/Δ = −0,04/0,1117 = −0,3582 V
VB = Δ2/Δ = −0,64/0,1117 = −5,731 V

Відповідь

IR2 = (VA − VB)/R2 = (−0,3582 − −5,731)/8 = 0,6716 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: I2 = −5,859 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 2 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​9 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
2·I1 + 15(I1 − I2) = 9
17·I1 − 15·I2 = 9

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
2·I2 + 15(I2 − I1) = (−30)
−15·I1 + 17·I2 = −30

Розв’яжіть

Δ = (17)(17) − (−15)(−15) = 64
I1 = Δ1/Δ = −297/64 = −4,641 A
I2 = Δ2/Δ = −375/64 = −5,859 A

Відповідь

I2 = −5,859 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: IR3 = −1,263 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 25 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR4​4 ΩAR5​20 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 4(I1 − I2) = 12
29·I1 − 4·I2 = 12

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
30·I2 + 4(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−4·I1 + 54·I2 − 20·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 20(I3 − I2) = (−24)
−20·I2 + 26·I3 = −24

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 28700
I1 = Δ1/Δ = 10128/28700 = 0,3529 A
I2 = Δ2/Δ = −12672/28700 = −0,4415 A
I3 = Δ3/Δ = −36240/28700 = −1,263 A

Відповідь

IR3 = I3 = −1,263 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: Is = 0,9 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 8+8 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω
VA = 9·5,333/(2+5,333) = 6,545 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6,545·8/16 = 3,273 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (6,545 − 3,273)/8 = 0,4091 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ ∥ R₂ з’єднує A із землею. Iₛ розгалужується у вузлі B між R₄ і шляхом R₃ + R₁∥R₂; частина через R₃ тече від B до A, проти стрілки.

R1 ∥ R2 = 1,6 Ω
IR3″ = −Is·R4/(R4 + R3 + R1∥R2) = −Is·8/17,6 = −0,4545·Is

Прирівняйте суму до нуля

IR3′ + IR3″ = 0,4091 − 0,4545·Is = 0
Is = 0,4091/0,4545 = 0,9 A

Відповідь

Is = 0,9 A
8.Метод накладання

Відповідь: V2 = 36,5 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​10 VR3​10 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 10 ∥ 27 = 7,297 Ω
VA = 10·7,297/(20+7,297) = 2,673 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,673·25/27 = 2,475 V
R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 ΩКЗR3​10 ΩAIs​2 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃. Стрілка Iₛ спрямована вниз, від його вузла, тож Iₛ відбирає струм із цього вузла: його доданок входить зі знаком мінус.

R1 ∥ R3 = 6,667 Ω, тож лівий шлях — R2+6,667 = 8,667 Ω
Req = R4 ∥ 8,667 = 6,436 Ω
VB = −Is·Req = −2·6,436 = −12,87 V
VA = VB·6,667/8,667 = −9,901 V

Випадок 3 · діє лише V2, на один вольт

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 6,667 Ω
VA‴ = V2·6,667/(25 + 2 + 6,667) = 0,198·V2

Прирівняйте VA до нуля

При VA = 0 напруга на R₃ відсутня, тож струм через нього дорівнює нулю.

VA′ + VA″ + VA‴ = 2,673 + (−9,901) + 0,198·V2 = 0
V2 = 7,228/0,198 = 36,5 V

Відповідь

V2 = 36,5 V
9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,04478 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​2 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 6 = 7,765 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·2/(15+2) = 0,7059 V
Rth​ = 7,765 Ω+−Vth​0,7059 VRL​8 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 0,7059/(7,765 + 8) = 0,04478 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = −0,1875 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​12 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 12 = 13,71 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + (−0,5)·1,714 = 3,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,429 + (−0,5)·12 = −2,571 V
IN​0,1875 ARth​13,71 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = −2,571/13,71 = −0,1875 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 2,424 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 4,5·4,7/(100 + 4,7) = 0,202 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0,202·(1 + 22/2) = 2,424 V

Відповідь

Vout = 2,424 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −0,2119 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = 1,8/10 = 0,18 mA
I2 = V2/R2 = 1,5/47 = 0,03191 mA
If = I1 + I2 = 0,2119 mA

Вихідна напруга

Vout = −Rf·If = −1·0,2119 = −0,2119 V

Відповідь

Vout = −0,2119 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 1,76 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms
i(∞) = Vs/R = 20/50 = 0,4 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0,4² = 1,76 mJ

Відповідь

W(∞) = 1,76 mJ
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,427 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 9/(20 + 15) = 0,2571 A
i(∞) = 9/20 = 0,45 A
τ = L/R = 47/20 = 2,35 ms
i(t) = 0,45 + (0,2571 − 0,45)·e−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,45 + (−0,1929)·e−5/2,35 = 0,427 A

Відповідь

i = 0,427 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1