Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 25 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​3 ΩBR6​4 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 12 VR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 6 VIs​2,5 AAR1​10 ΩR2​6 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VA (відносно землі).

Is = 2,5 AVs = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 6 Ω
VA = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 2 ΩR2​ = 25 ΩIR2​R4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​25 ΩAR5​15 ΩBIs​1 A+−V2​15 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 10 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 15 Ω
IR2 = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 20 ΩR2​ = 3 Ω+−VR2​+−V1​12 VR3​5 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.

V1 = 12 VV2 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 Ω
VR2 = V
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR4​20 ΩAR5​30 ΩB+−V2​9 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 30 VV2 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​6 ΩIR4​BIs​2 A

За методом накладання знайдіть потужність PR4, яку споживає R4.

V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
PR4 = W
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 30 ΩR2​ = 8 Ω+−VR2​R4​ = 30 Ω+−V1​36 VR3​6 ΩAIs​2,5 AB−+V2​12 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.

V1 = 36 VIs = 2,5 AV2 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 30 Ω
VR2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩARL​8 ΩIL​B

До a–b підключено навантаження RL = 8 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​1 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 6 VIs = 1 AR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4,7 kΩVin​

Підберіть резистор зворотного зв’язку Rf, щоб цей неінвертувальний підсилювач мав коефіцієнт підсилення за напругою 5.

R1 = 4,7 kΩAv = 5
Rf = kΩ
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = −0,9 VR1​ = 47 kΩV2​ = −2 VR3​ = 1 kΩR4​ = 47 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = −0,9 VV2 = −2 VR1 = 47 kΩR2 = 10 kΩR3 = 1 kΩR4 = 47 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​20 Vрозмикається при t = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 4,7 kΩi2​C100 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i2 через R2 при t = 400 ms.

Vs = 20 VR1 = 2,2 kΩR2 = 4,7 kΩC = 100 µFt = 400 ms
i2 = mA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,9529 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 2·27/(2+27) = 1,862 Ω
Req = R1 + 1,862 = 4 + 1,862 = 5,862 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/5,862 = 1,024 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 1,024·4 = 1,906 V
IR2 = VA/R2 = 1,906/2 = 0,9529 A

Відповідь

IR2 = 0,9529 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 26,86 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 25 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​3 ΩBR6​4 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 4 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 2,471 Ω
R3 + 2,471 = 27,47 Ω
R2 ∥ 27,47 = 1,864 Ω
Req = R1 + 1,864 = 25 + 1,864 = 26,86 Ω

Відповідь

Req = 26,86 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 5,625 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 6
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/10 + (VA + 6)/6 = 2,5
VA = (2,5 − 6/6)/(1/10 + 1/6) = 5,625 V
VB = 5,625 + 6 = 11,63 V

Відповідь

VA = 5,625 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR2 = −0,1956 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 2 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​25 ΩAR5​15 ΩBIs​1 A+−V2​15 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 10 V, V2 = 15 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 10)/2 + (VA − VB)/25 = 0
0,58·VA − 0,04·VB = 5

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/25 + (VB − 15)/3 = 1
−0,04·VA + 0,44·VB = 6

Розв’яжіть

Δ = (0,58)(0,44) − (−0,04)(−0,04) = 0,2536
VA = Δ1/Δ = 2,44/0,2536 = 9,621 V
VB = Δ2/Δ = 3,68/0,2536 = 14,51 V

Відповідь

IR2 = (VA − VB)/R2 = (9,621 − 14,51)/25 = −0,1956 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: VR2 = −9,257 V

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 20 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​12 VR3​5 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 5(I1 − I2) = 12
25·I1 − 5·I2 = 12

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 5(I2 − I1) = (−24)
−5·I1 + 8·I2 = −24

Розв’яжіть

Δ = (25)(8) − (−5)(−5) = 175
I1 = Δ1/Δ = −24/175 = −0,1371 A
I2 = Δ2/Δ = −540/175 = −3,086 A

Відповідь

IR2 = I2 = −3,086 A
VR2 = IR2·R2 = −3,086·3 = −9,257 V

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = 0,5 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR4​20 ΩAR5​30 ΩB+−V2​9 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 20(I1 − I2) = 30
28·I1 − 20·I2 = 30

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
8·I2 + 20(I2 − I1) + 30(I2 − I3) = 0
−20·I1 + 58·I2 − 30·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
2·I3 + 30(I3 − I2) = (−9)
−30·I2 + 32·I3 = −9

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 13968
I1 = Δ1/Δ = 23280/13968 = 1,667 A
I2 = Δ2/Δ = 11640/13968 = 0,8333 A
I3 = Δ3/Δ = 6984/13968 = 0,5 A

Відповідь

I3 = 0,5 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: PR4 = 11,76 W

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​6 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 2+6 = 8 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VA = 9·4,444/(15+4,444) = 2,057 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2,057·6/8 = 1,543 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (1,543 − 0)/6 = 0,2571 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​10 ΩAR4​6 ΩBIs​2 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 6 ∥ 8 = 3,429 Ω
VB = Is·Req = 2·3,429 = 6,857 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 6,857·6/8 = 5,143 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (6,857 − 0)/6 = 1,143 A

Додайте внески струму

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,2571 + 1,143 = 1,4 A

Потужність у резисторі

Потужність залежить від квадрата струму, тож метод накладання до неї не застосовний: спочатку додайте струми, потім піднесіть до квадрата.

PR4 = IR4²·R4 = 1,4²·6 = 11,76 W

Відповідь

PR4 = 11,76 W

Сума потужностей окремих випадків дала б 8,233 W, а це неправильно.

8.Метод накладання

Відповідь: VR2 = 17,3 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 30 Ω+−V1​36 VR3​6 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 6 ∥ 38 = 5,182 Ω
VA = 36·5,182/(30+5,182) = 5,302 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 5,302·30/38 = 4,186 V
VR2′ = VA − VB = 5,302 − 4,186 = 1,116 V
R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 30 ΩКЗR3​6 ΩAIs​2,5 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 5 Ω, тож лівий шлях — R2+5 = 13 Ω
Req = R4 ∥ 13 = 9,07 Ω
VB = Is·Req = (−2,5)·9,07 = −22,67 V
VA = VB·5/13 = −8,721 V
VR2″ = VA − VB = −8,721 − −22,67 = 13,95 V
R1​ = 30 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 30 ΩКЗR3​6 ΩAОБРИВB−+V2​12 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 30·6/(30+6) = 5 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−12)·13/43 = −3,628 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −3,628·5/13 = −1,395 V
VR2‴ = VA − VB = −1,395 − −3,628 = 2,233 V

Додайте складові

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 1,116 + 13,95 + 2,233 = 17,3 V

Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,3571 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 12 = 14,4 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(3+12) = 8 V
Rth​ = 14,4 Ω+−Vth​8 VRL​8 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 8/(14,4 + 8) = 0,3571 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 1,189 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​15 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 5 = 13,57 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,571 + 1·8,571 = 11,14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,14 + 1·5 = 16,14 V
IN​1,189 ARth​13,57 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 16,14/13,57 = 1,189 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Rf = 18,8 kΩ

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊ = Vin, а струм через R₁ тече й через Rf, тож Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (5 − 1)·4,7 = 18,8 kΩ

Відповідь

Rf = 18,8 kΩ
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −2,184 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −2·47/(1 + 47) = −1,958 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

Vout = −(10/47)·(−0,9) + (1 + 10/47)·(−1,958) = 0,1915 + (−2,375) = −2,184 V

Відповідь

Vout = −2,184 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2433 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0,3 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,3·(1 − e−5/3) = 0,2433 A

Відповідь

i = 0,2433 A
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i2 = 1,238 mA

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 20·4,7/(2,2 + 4,7) = 13,62 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 4,7·100 = 470 ms

Розряджання

vC(t) = 13,62·e−400/470 = 5,817 V
i2 = vC/R2 = 5,817/4,7 = 1,238 mA

Відповідь

i2 = 1,238 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1