Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 ΩR5 = 10 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 5 VIs​2 AAR1​8 ΩR2​6 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VA (відносно землі).

Is = 2 AVs = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 6 Ω
VA = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​6 A−+V2​5 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 6 VIs = 6 AV2 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 ΩR5 = 30 Ω
VB = V
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 2 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​10 VR3​6 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I1 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 10 VV2 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 Ω
I1 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 8 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR4​25 ΩAR5​5 ΩIR5​B+−V2​15 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR5 через R5 у напрямку стрілки.

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 5 Ω
IR5 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩIR3​+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBIs​2,5 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VIs = 2,5 AR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
IR3 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 20 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​12 VR3​20 ΩIR3​AIs​2,5 AB+−V2​?

Знайдіть значення джерела напруги V2 (полярність як на схемі), за якого струм IR3 через R3 дорівнює нулю.

V1 = 12 VIs = 2,5 AR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 Ω
V2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​2 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1,1 V

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = 1,1 VR1 = 10 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
Vin​V1​Vout​каскад 1: інвертувальнийR1​ = 4,7 kΩRf1​ = 47 kΩкаскад 2: неінвертувальнийR2​ = 100 kΩRf2​ = 22 kΩ

Два каскади на ідеальних ОП увімкнено послідовно: інвертувальний підсилювач (R1, Rf1), за ним неінвертувальний (R2 на землю, Rf2 у колі зворотного зв’язку). Обидва живляться від ±15 V. Вхідна напруга Vin = 1 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

R1 = 4,7 kΩRf1 = 47 kΩR2 = 100 kΩRf2 = 22 kΩVin = 1 V
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL220 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 10 ms.

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​30 Vрозмикається при t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 2,2 kΩC100 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.

Vs = 30 VR1 = 3,3 kΩR2 = 2,2 kΩC = 100 µFt = 400 ms
vC = V

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 8,55 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 3·17/(3+17) = 2,55 Ω
Req = R1 + 2,55 = 6 + 2,55 = 8,55 Ω

Відповідь

Req = 8,55 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 33,38 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 2 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 1,714 Ω
R3 + 1,714 = 21,71 Ω
R2 ∥ 21,71 = 3,378 Ω
Req = R1 + 3,378 = 30 + 3,378 = 33,38 Ω

Відповідь

Req = 33,38 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 4 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/8 + (VA + 5)/6 = 2
VA = (2 − 5/6)/(1/8 + 1/6) = 4 V
VB = 4 + 5 = 9 V

Відповідь

VA = 4 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 34,72 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​6 A−+V2​5 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V, V2 = −5 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/15 + (VA − VB)/4 = 0
0,35·VA − 0,25·VB = 0,4

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/4 + (VB − (−5))/15 = 6
−0,25·VA + 0,35·VB = 5,667

Розв’яжіть

Δ = (0,35)(0,35) − (−0,25)(−0,25) = 0,06
VA = Δ1/Δ = 1,557/0,06 = 25,94 V
VB = Δ2/Δ = 2,083/0,06 = 34,72 V

Відповідь

VB = 34,72 V
5.Метод контурних струмів

Відповідь: I1 = −2,286 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 2 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​10 VR3​6 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
2·I1 + 6(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
2·I2 + 6(I2 − I1) = (−24)
−6·I1 + 8·I2 = −24

Розв’яжіть

Δ = (8)(8) − (−6)(−6) = 28
I1 = Δ1/Δ = −64/28 = −2,286 A
I2 = Δ2/Δ = −132/28 = −4,714 A

Відповідь

I1 = −2,286 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: IR5 = 1,183 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 8 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR4​25 ΩAR5​5 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 25(I1 − I2) = 36
33·I1 − 25·I2 = 36

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 25(I2 − I1) + 5(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 50·I2 − 5·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
25·I3 + 5(I3 − I2) = (−15)
−5·I2 + 30·I3 = −15

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 29925
I1 = Δ1/Δ = 51225/29925 = 1,712 A
I2 = Δ2/Δ = 24525/29925 = 0,8195 A
I3 = Δ3/Δ = −10875/29925 = −0,3634 A

Відповідь

IR5 = I2 − I3 = 1,183 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR3 = 0,2823 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 5+5 = 10 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
VA = 15·3,75/(4+3,75) = 7,258 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 7,258·5/10 = 3,629 V
IR3′ = (VB − VA)/R3 = (3,629 − 7,258)/5 = −0,7258 A
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​6 ΩAR4​5 ΩBIs​2,5 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 5 ∥ 7,4 = 2,984 Ω
VB = Is·Req = 2,5·2,984 = 7,46 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 7,46·2,4/7,4 = 2,419 V
IR3″ = (VB − VA)/R3 = (7,46 − 2,419)/5 = 1,008 A

Додайте складові

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = (−0,7258) + 1,008 = 0,2823 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: V2 = 20 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 20 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​12 VR3​20 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 20 ∥ 50 = 14,29 Ω
VA = 12·14,29/(20+14,29) = 5 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 5·20/50 = 2 V
R1​ = 20 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 ΩКЗR3​20 ΩAIs​2,5 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃. Стрілка Iₛ спрямована вниз, від його вузла, тож Iₛ відбирає струм із цього вузла: його доданок входить зі знаком мінус.

R1 ∥ R3 = 10 Ω, тож лівий шлях — R2+10 = 40 Ω
Req = R4 ∥ 40 = 13,33 Ω
VB = −Is·Req = −2,5·13,33 = −33,33 V
VA = VB·10/40 = −8,333 V

Випадок 3 · діє лише V2, на один вольт

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 10 Ω
VA‴ = V2·10/(20 + 30 + 10) = 0,1667·V2

Прирівняйте VA до нуля

При VA = 0 напруга на R₃ відсутня, тож струм через нього дорівнює нулю.

VA′ + VA″ + VA‴ = 5 + (−8,333) + 0,1667·V2 = 0
V2 = 3,333/0,1667 = 20 V

Відповідь

V2 = 20 V
9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,8889 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​15 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 3 = 11,57 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·15/(20+15) = 10,29 V
IN​0,8889 ARth​11,57 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 10,29/11,57 = 0,8889 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 2,588 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​8 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 3 = 5,667 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,333 + 2·2,667 = 8,667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,667 + 2·3 = 14,67 V
IN​2,588 ARth​5,667 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 14,67/5,667 = 2,588 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 12,1 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = 1,1 V
I = V₋/R1 = 1,1/10 = 0,11 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = 1,1 + 0,11·100 = 12,1 V

Відповідь

Vout = 12,1 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −12,2 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення кожного каскаду

A1 = −Rf1/R1 = −47/4,7 = −10
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 22/100 = 1,22

Каскад за каскадом

V1 = −10·1 = −10 V
Vout = 1,22·(−10) = −12,2 V

Відповідь

Vout = −12,2 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1791 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0,3 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,3·(1 − e−10/11) = 0,1791 A

Відповідь

i = 0,1791 A
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 1,948 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 30·2,2/(3,3 + 2,2) = 12 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 2,2·100 = 220 ms

Розряджання

vC(t) = 12·e−400/220 = 1,948 V

Відповідь

vC = 1,948 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1