Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Струм гілки: I = (V_a − V_b)/R
Опорний вузол: V_ground = 0

Метод

Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
Виразіть кожен струм гілки як (V_a − V_b)/R.
Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа: ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор: струм = I₁ − I₂
Джерело струму в контурі: задає струм цього контуру

Метод

Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги: коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму: розрив (0 A)
Подільник напруги: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Подільник струму: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

3.Метод вузлових потенціалівСередня

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I₁ у вітці 1, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩV₂ = 18 VR₂ = 8 ΩV₃ = 30 VR₃ = 5 Ω

I₁ = A

4.Метод вузлових потенціалівСкладна

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм I_R1 через R₁ у напрямку стрілки.

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Метод контурних струмівСередня

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I₁ (за годинниковою стрілкою).

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 Ω

I₁ = A

6.Метод контурних струмівСкладна

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти напругу V_R3 на R₃ з указаною полярністю.

V₁ = 6 VV₂ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 Ω

V_R3 = V

7.Метод накладанняСередня

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм I_R1 через R₁ у напрямку стрілки.

V₁ = 9 VI_s = 1,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.Метод накладанняСкладна

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм I_R2 через R₂ у напрямку стрілки.

V₁ = 9 VI_s = 6 AV₂ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

9.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 12 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 20 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 30 VI_s = 2,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Диференціальний підсилювач використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V, R₃ = R₁ і R₄ = R₂. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 0,1 VV₂ = 1,1 VR₁ = R₃ = 22 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = −0,1 VV₂ = 0,5 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

13.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 1 ms, у mJ.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

14.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 500 ms.

V_s = 6 VR = 3,3 kΩC = 100 µFv_C(0) = 18 Vt = 500 ms

v_C = V

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,4234 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2,545 Ω

R_eq = R₁ + 2,545 = 20 + 2,545 = 22,55 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/22,55 = 0,6653 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,6653·20 = 1,694 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,694/4 = 0,4234 A

Відповідь

I_R2 = 0,4234 A

2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,3393 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 7,143 Ω

R₃ + 7,143 = 27,14 Ω

R₂ ∥ 27,14 = 13,01 Ω

R_eq = R₁ + 13,01 = 10 + 13,01 = 23,01 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/23,01 = 0,6518 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,6518·10 = 8,482 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,482/25 = 0,3393 A

Відповідь

I_R2 = 0,3393 A

3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I₁ = −4,119 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (V_A − V_k)/R_k, де V_k — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(V_A − (−12))/6 + (V_A − 18)/8 + (V_A − 30)/5 = 0

Знайдіть V_A

V_A = ((−12)/6 + 18/8 + 30/5) / (1/6 + 1/8 + 1/5) = 6,25/0,4917 = 12,71 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I₁ = ((−12) − V_A)/R₁ = ((−12) − 12,71)/6 = −4,119 A

Відповідь

I₁ = −4,119 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I_R1 = 3,582 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V₁ = 36 V, V₂ = −9 V). Невідомі: V_A, V_B.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 36)/2 + (V_A − V_B)/15 = 0

0,6917·V_A − 0,06667·V_B = 18

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/15 + (V_B − (−9))/15 = 5

−0,06667·V_A + 0,2167·V_B = 4,4

Розв’яжіть

Δ = (0,6917)(0,2167) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,1454

V_A = Δ₁/Δ = 4,193/0,1454 = 28,84 V

V_B = Δ₂/Δ = 4,243/0,1454 = 29,18 V

Відповідь

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (36 − 28,84)/2 = 3,582 A

5.Метод контурних струмів

Відповідь: I₁ = −0,7778 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I₁, I₂. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 6

18·I₁ − 15·I₂ = 6

ЗНК для контуру 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−15)

−15·I₁ + 20·I₂ = −15

Розв’яжіть

Δ = (18)(20) − (−15)(−15) = 135

I₁ = Δ₁/Δ = −105/135 = −0,7778 A

I₂ = Δ₂/Δ = −180/135 = −1,333 A

Відповідь

I₁ = −0,7778 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: V_R3 = −29,19 V

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I₁, I₂, I₃. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 6

30·I₁ − 20·I₂ = 6

ЗНК для контуру 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 27·I₂ − 2·I₃ = 0

ЗНК для контуру 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−36)

−2·I₂ + 10·I₃ = −36

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 3980

I₁ = Δ₁/Δ = 156/3980 = 0,0392 A

I₂ = Δ₂/Δ = −960/3980 = −0,2412 A

I₃ = Δ₃/Δ = −14520/3980 = −3,648 A

Відповідь

I_R3 = I₃ = −3,648 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −3,648·8 = −29,19 V

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: I_R1 = 0,4091 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

Випадок 1 · діє лише V₁

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R₃+R₄ = 3+4 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·7/(6+7) = 3,231 Ω

V_A = 9·3,231/(12+3,231) = 1,909 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1,909·4/7 = 1,091 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 1,909)/12 = 0,5909 A

Випадок 2 · діє лише I_s

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 7 = 2,545 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1,5·2,545 = 3,818 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3,818·4/7 = 2,182 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2,182)/12 = −0,1818 A

Додайте складові

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0,5909 + (−0,1818) = 0,4091 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: I_R2 = −0,4624 A

Випадок 1 · діє лише V₁

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 19 = 5,63 Ω

V_A = 9·5,63/(20+5,63) = 1,977 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1,977·4/19 = 0,4162 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (1,977 − 0,4162)/15 = 0,104 A

Випадок 2 · діє лише I_s

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 5,714 Ω, тож лівий шлях — R₂+5,714 = 20,71 Ω

R_eq = R₄ ∥ 20,71 = 3,353 Ω

V_B = I_s·R_eq = 6·3,353 = 20,12 V

V_A = V_B·5,714/20,71 = 5,549 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (5,549 − 20,12)/15 = −0,9711 A

Випадок 3 · діє лише V₂

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R₁ ∥ R₃ = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−10)·20,71/24,71 = −8,382 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −8,382·5,714/20,71 = −2,312 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (−2,312 − −8,382)/15 = 0,4046 A

Додайте складові

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0,104 + (−0,9711) + 0,4046 = −0,4624 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,1531 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 5 = 12,5 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·12/(20+12) = 3,75 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,75/(12,5 + 12) = 0,1531 A

10.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 1,576 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 6 = 9,75 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 22,5 + 2,5·3,75 = 31,88 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31,88 + 2,5·6 = 46,88 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 46,88/(9,75 + 20) = 1,576 A

11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 0,4545 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на входах

Через R₃ і R₄ тече однаковий струм, тож вони утворюють подільник напруги; зворотний зв’язок забезпечує V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,1·10/(22 + 10) = 0,3438 V

V₋ = V₊

ЗСК для інвертувального входу

(0,1 − 0,3438)/22 = (0,3438 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/22)·(1,1 − 0,1) = 0,4545 V

Відповідь

V_out = 0,4545 V

12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −4,953 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = −0,1/100 = −0,001 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,5/4,7 = 0,1064 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1054 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −47·0,1054 = −4,953 V

Відповідь

V_out = −4,953 V

13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 6,88 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,6·(1 − e^−1/1,467) = 0,7909 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·22·0,7909² = 6,88 mJ

Відповідь

W = 6,88 mJ

14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 8,637 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 100 µF = 330 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(500) = 6 + (12)·e^−500/330 = 8,637 V

Відповідь

v_C = 8,637 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Метод

Метод вузлових потенціалів

Метод

Метод контурних струмів

Метод

Метод накладання

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

Схеми з операційними підсилювачами

Перехідні процеси RC і RL

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Струм джерела

Струм через R₂

Відповідь

ЗСК для вузла A

Знайдіть VA

Струм гілки

Відповідь

Визначте вузли

ЗСК у вузлі A

ЗСК у вузлі B

Розв’яжіть

Відповідь

Призначте контурні струми

ЗНК для контуру 1

ЗНК для контуру 2

Розв’яжіть

Відповідь

Призначте контурні струми

ЗНК для контуру 1

ЗНК для контуру 2

ЗНК для контуру 3

Розв’яжіть

Відповідь

Випадок 1 · діє лише V1

Випадок 2 · діє лише Is

Додайте складові

Випадок 1 · діє лише V1

Випадок 2 · діє лише Is

Випадок 3 · діє лише V2

Додайте складові

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Напруга на входах

ЗСК для інвертувального входу

Відповідь

Вхідні струми

Вихідна напруга

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Струм у заданий момент

Накопичена енергія

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга в заданий момент

Відповідь

Знайдіть V_A

Випадок 1 · діє лише V₁

Випадок 2 · діє лише I_s

Випадок 1 · діє лише V₁

Випадок 2 · діє лише I_s

Випадок 3 · діє лише V₂

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу