Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩIR2​AR4​15 ΩBR6​10 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​20 Ω+−V1​30 VR2​5 Ω+−V2​9 VI2​R3​4 Ω−+V3​18 VA

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I2 у вітці 2, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩV2 = 9 VR2 = 5 ΩV3 = 18 VR3 = 4 Ω
I2 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​20 ΩB0,05·VA​

Ромб — це джерело струму, кероване напругою, що подає струм 0,05·VA (в A, де VA у V) угору у вузол B. Методом вузлових потенціалів знайдіть вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ωg = 0,05 A/V
VB = V
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 5 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​12 VR3​3 Ω+−VR3​A+−V2​15 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти напругу VR3 на R3 з указаною полярністю.

V1 = 12 VV2 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
VR3 = V
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 15 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I1 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 Ω
I1 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​4 ΩBIs​2 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 18 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 12 ΩR2​ = 8 Ω+−VR2​R4​ = 3 Ω+−V1​24 VR3​15 ΩAIs​1,5 AB+−V2​15 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.

V1 = 24 VIs = 1,5 AV2 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
VR2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​5 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 47 kΩVin​R1​ = 22 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±14 V. На інвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу Vin,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R1 = 22 kΩRf = 47 kΩVsat = ±14 V
Vin,max = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = −0,6 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 1,3 VR3​ = 22 kΩR4​ = 10 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = −0,6 VV2 = 1,3 VR1 = 4,7 kΩR2 = 22 kΩR3 = 22 kΩR4 = 10 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 10 kΩC47 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

Vs = 6 VR1 = 4,7 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µF
τ = ms
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 2,2 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 15 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 80 ms.

Vs = 10 VR = 2,2 kΩC = 22 µFvC(0) = 15 Vt = 80 ms
vC = V

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,019 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8,727 Ω
Req = R1 + 8,727 = 6 + 8,727 = 14,73 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/14,73 = 1,019 A

Відповідь

IR1 = 1,019 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,4682 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAR4​15 ΩBR6​10 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 9,375 Ω
R3 + 9,375 = 15,38 Ω
R2 ∥ 15,38 = 9,52 Ω
Req = R1 + 9,52 = 10 + 9,52 = 19,52 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/19,52 = 1,23 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,23·10 = 11,7 V
IR2 = VA/R2 = 11,7/25 = 0,4682 A

Відповідь

IR2 = 0,4682 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I2 = 2,28 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 30)/20 + (VA − 9)/5 + (VA − (−18))/4 = 0

Знайдіть VA

VA = (30/20 + 9/5 + (−18)/4) / (1/20 + 1/5 + 1/4) = −1,2/0,5 = −2,4 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I2 = (9 − VA)/R2 = (9 − (−2,4))/5 = 2,28 A

Відповідь

I2 = 2,28 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 3,13 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Струми, що виходять з A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,5083·VA − 0,125·VB = 1,2

ЗСК для вузла B

Залежне джерело подає g·VA у вузол B. Розглядайте його як незалежне джерело, потім перенесіть доданок з VA у ліву частину.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,05·VA
−0,175·VA + 0,175·VB = 0

Розв’яжіть

Δ = (0,5083)(0,175) − (−0,125)(−0,175) = 0,06708
VA = Δ1/Δ = 0,21/0,06708 = 3,13 V
VB = Δ2/Δ = 0,21/0,06708 = 3,13 V

Відповідь

VB = 3,13 V
5.Метод контурних струмів

Відповідь: VR3 = 7,364 V

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 5 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​12 VR3​3 ΩA+−V2​15 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
5·I1 + 3(I1 − I2) = 12
8·I1 − 3·I2 = 12

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 3(I2 − I1) = (−15)
−3·I1 + 8·I2 = −15

Розв’яжіть

Δ = (8)(8) − (−3)(−3) = 55
I1 = Δ1/Δ = 51/55 = 0,9273 A
I2 = Δ2/Δ = −84/55 = −1,527 A

Відповідь

IR3 = I1 − I2 = 2,455 A
VR3 = IR3·R3 = 2,455·3 = 7,364 V

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I1 = 1,845 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 15 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR4​5 ΩAR5​10 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 5(I1 − I2) = 36
20·I1 − 5·I2 = 36

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
12·I2 + 5(I2 − I1) + 10(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 27·I2 − 10·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
20·I3 + 10(I3 − I2) = (−15)
−10·I2 + 30·I3 = −15

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 13450
I1 = Δ1/Δ = 24810/13450 = 1,845 A
I2 = Δ2/Δ = 2400/13450 = 0,1784 A
I3 = Δ3/Δ = −5925/13450 = −0,4405 A

Відповідь

I1 = 1,845 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR1 = 0,8601 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​4 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 3+4 = 7 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 4·7/(4+7) = 2,545 Ω
VA = 18·2,545/(15+2,545) = 2,611 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2,611·4/7 = 1,492 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (18 − 2,611)/15 = 1,026 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​4 ΩAR4​4 ΩBIs​2 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 4 ∥ 6,158 = 2,425 Ω
VB = Is·Req = 2·2,425 = 4,85 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 4,85·3,158/6,158 = 2,487 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 2,487)/15 = −0,1658 A

Додайте складові

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 1,026 + (−0,1658) = 0,8601 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: VR2 = −2,792 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 12 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​24 VR3​15 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 15 ∥ 11 = 6,346 Ω
VA = 24·6,346/(12+6,346) = 8,302 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 8,302·3/11 = 2,264 V
VR2′ = VA − VB = 8,302 − 2,264 = 6,038 V
R1​ = 12 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 3 ΩКЗR3​15 ΩAIs​1,5 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 6,667 Ω, тож лівий шлях — R2+6,667 = 14,67 Ω
Req = R4 ∥ 14,67 = 2,491 Ω
VB = Is·Req = 1,5·2,491 = 3,736 V
VA = VB·6,667/14,67 = 1,698 V
VR2″ = VA − VB = 1,698 − 3,736 = −2,038 V
R1​ = 12 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 3 ΩКЗR3​15 ΩAОБРИВB+−V2​15 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·14,67/17,67 = 12,45 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 12,45·6,667/14,67 = 5,66 V
VR2‴ = VA − VB = 5,66 − 12,45 = −6,792 V

Додайте складові

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 6,038 + (−2,038) + (−6,792) = −2,792 V

Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 1,111 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​20 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,818 + 8 = 9,818 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·20/(2+20) = 10,91 V
IN​1,111 ARth​9,818 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 10,91/9,818 = 1,111 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 42,22 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​10 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 3 = 7,444 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + 5·4,444 = 27,22 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 27,22 + 5·3 = 42,22 V
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vin,max = 6,553 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

|Av| = Rf/R1 = 47/22 = 2,136

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

Vin,max = Vsat/|Av| = 14/2,136 = 6,553 V

Відповідь

Vin,max = 6,553 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 5,116 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,3·10/(22 + 10) = 0,4063 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

Vout = −(22/4,7)·(−0,6) + (1 + 22/4,7)·0,4063 = 2,809 + 2,308 = 5,116 V

Відповідь

Vout = 5,116 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 150,3 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·10/(4,7 + 10) = 3,197 kΩ
vC(∞) = 6·10/(4,7 + 10) = 4,082 V

Стала часу

τ = Rth·C = 3,197·47 = 150,3 ms

Відповідь

τ = 150,3 ms
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 10,96 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms
vC(t) = 10 + (15 − 10)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(80) = 10 + (5)·e−80/48,4 = 10,96 V

Відповідь

vC = 10,96 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1