Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​4 Ω+−V1​10 VR2​5 Ω+−V2​30 VR3​8 Ω+−V3​18 VI3​A

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I3 у вітці 3, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V1 = 10 VR1 = 4 ΩV2 = 30 VR2 = 5 ΩV3 = 18 VR3 = 8 Ω
I3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​?

Джерело струму регулюють, доки вузлова напруга в A не стане VA = 16 V. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм джерела Is (напрямок як на схемі).

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 ΩVA = 16 V
Is = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 8 ΩR2​ = 12 ΩIR2​+−V1​6 VR3​12 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VV2 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
IR2 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 8 ΩR2​ = 6 ΩIR2​R3​ = 12 Ω+−V1​6 VR4​30 ΩAR5​12 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VV2 = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 30 ΩR5 = 12 Ω
IR2 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩIR3​+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBIs​2,5 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 24 VIs = 2,5 AR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 8 Ω
IR3 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 10 ΩIR4​+−V1​10 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR4 через R4 у напрямку стрілки.

V1 = 10 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR4 = A
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩARL​6 ΩIL​B

До a–b підключено навантаження RL = 6 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩRL = 6 Ω
IL = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 10 VIs = 2,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 2 kΩVin​

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±14 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу Vin,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R1 = 2 kΩRf = 47 kΩVsat = ±14 V
Vin,max = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −1,3 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 1,3 VR2​ = 2 kΩIf​

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть струм If через резистор зворотного зв’язку, що тече до виходу.

V1 = −1,3 VV2 = 1,3 VR1 = 4,7 kΩR2 = 2 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 ΩL47 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 10 ms, у mJ.

Vs = 12 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 10 ms
W = mJ
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vрозмикається при t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 1 kΩi2​C100 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i2 через R2 при t = 200 ms.

Vs = 10 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µFt = 200 ms
i2 = mA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 2,386 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω
Req = R1 + 2,64 = 4 + 2,64 = 6,64 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/6,64 = 2,711 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2,711·4 = 7,157 V
IR2 = VA/R2 = 7,157/3 = 2,386 A

Відповідь

IR2 = 2,386 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 10,61 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 2,5 Ω
R3 + 2,5 = 7,5 Ω
R2 ∥ 7,5 = 2,609 Ω
Req = R1 + 2,609 = 8 + 2,609 = 10,61 Ω

Відповідь

Req = 10,61 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I3 = −0,08696 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 10)/4 + (VA − 30)/5 + (VA − 18)/8 = 0

Знайдіть VA

VA = (10/4 + 30/5 + 18/8) / (1/4 + 1/5 + 1/8) = 10,75/0,575 = 18,7 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I3 = (18 − VA)/R3 = (18 − 18,7)/8 = −0,08696 A

Відповідь

I3 = −0,08696 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Is = 7,417 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

VA відоме, тож це рівняння дає VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(16 − 24)/4 + 16/3 = (VB − 16)/5
3,333 = (VB − 16)/5 → VB = 32,67 V

ЗСК для вузла B

Струми, що виходять з B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (32,67 − 16)/5 + 32,67/8 = 7,417 A

Відповідь

Is = 7,417 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: IR2 = −1,571 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 8 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​6 VR3​12 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 12(I1 − I2) = 6
20·I1 − 12·I2 = 6

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
12·I2 + 12(I2 − I1) = (−30)
−12·I1 + 24·I2 = −30

Розв’яжіть

Δ = (20)(24) − (−12)(−12) = 336
I1 = Δ1/Δ = −216/336 = −0,6429 A
I2 = Δ2/Δ = −528/336 = −1,571 A

Відповідь

IR2 = I2 = −1,571 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: IR2 = 0,1221 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 8 ΩR2​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR4​30 ΩAR5​12 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 30(I1 − I2) = 6
38·I1 − 30·I2 = 6

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
6·I2 + 30(I2 − I1) + 12(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 48·I2 − 12·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 12(I3 − I2) = (−5)
−12·I2 + 24·I3 = −5

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 16704
I1 = Δ1/Δ = 4248/16704 = 0,2543 A
I2 = Δ2/Δ = 2040/16704 = 0,1221 A
I3 = Δ3/Δ = −2460/16704 = −0,1473 A

Відповідь

IR2 = I2 = 0,1221 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR3 = −0,1364 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 20+8 = 28 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 4·28/(4+28) = 3,5 Ω
VA = 24·3,5/(2+3,5) = 15,27 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 15,27·8/28 = 4,364 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (15,27 − 4,364)/20 = 0,5455 A
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​4 ΩAR4​8 ΩBIs​2,5 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 8 ∥ 21,33 = 5,818 Ω
VB = Is·Req = 2,5·5,818 = 14,55 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 14,55·1,333/21,33 = 0,9091 V
IR3″ = (VA − VB)/R3 = (0,9091 − 14,55)/20 = −0,6818 A

Додайте складові

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = 0,5455 + (−0,6818) = −0,1364 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: IR4 = 0,2227 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​10 VR3​8 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 22 = 5,867 Ω
VA = 10·5,867/(10+5,867) = 3,697 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,697·10/22 = 1,681 V
IR4′ = (VB − V2)/R4 = (1,681 − 0)/10 = 0,1681 A
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 10 ΩКЗR3​8 ΩAIs​1 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, тож лівий шлях — R2+4,444 = 16,44 Ω
Req = R4 ∥ 16,44 = 6,218 Ω
VB = Is·Req = 1·6,218 = 6,218 V
VA = VB·4,444/16,44 = 1,681 V
IR4″ = (VB − V2)/R4 = (6,218 − 0)/10 = 0,6218 A
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 10 ΩКЗR3​8 ΩAОБРИВB+−V2​15 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·16,44/26,44 = 9,328 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 9,328·4,444/16,44 = 2,521 V
IR4‴ = (VB − V2)/R4 = (9,328 − 15)/10 = −0,5672 A

Додайте складові

IR4 = IR4′ + IR4″ + IR4‴
IR4 = 0,1681 + 0,6218 + (−0,5672) = 0,2227 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,64 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​4 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·4/(3+4) = 6,857 V
Rth​ = 4,714 Ω+−Vth​6,857 VRL​6 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 6,857/(4,714 + 6) = 0,64 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 2,763 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​4 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 3 = 6,333 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,667 + 2,5·3,333 = 10 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10 + 2,5·3 = 17,5 V
IN​2,763 ARth​6,333 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 17,5/6,333 = 2,763 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vin,max = 0,5714 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 47/2 = 24,5

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

Vin,max = Vsat/|Av| = 14/24,5 = 0,5714 V

Відповідь

Vin,max = 0,5714 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: If = 0,3734 mA

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = −1,3/4,7 = −0,2766 mA
I2 = V2/R2 = 1,3/2 = 0,65 mA
If = I1 + I2 = 0,3734 mA

Відповідь

If = 0,3734 mA
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 26,26 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1,2 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,2·(1 − e−10/4,7) = 1,057 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·47·1,057² = 26,26 mJ

Відповідь

W = 26,26 mJ
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i2 = 0,3147 mA

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 10·1/(3,3 + 1) = 2,326 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 1·100 = 100 ms

Розряджання

vC(t) = 2,326·e−200/100 = 0,3147 V
i2 = vC/R2 = 0,3147/1 = 0,3147 mA

Відповідь

i2 = 0,3147 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1