Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​15 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 3 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩIR3​+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBIs​2,5 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VIs = 2,5 AR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
IR3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 5 ΩR2​ = 6 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​9 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 9 VIs = 0,5 AV2 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 30 Ω
VA = V
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​18 VR3​3 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I1 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 18 VV2 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
I1 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 3 ΩR2​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR4​8 ΩAR5​12 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 30 VV2 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 ΩR5 = 12 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩIR3​+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBIs​4 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 9 VIs = 4 AR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 Ω
IR3 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 3 ΩR2​ = 8 Ω−+VR2​R4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​25 ΩAIs​5 AB+−V2​9 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.

V1 = 15 VIs = 5 AV2 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 Ω
VR2 = V
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​2 ABRL​4 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 4 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 10 VIs = 2 AR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩRL = 4 Ω
IL = A
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 100 kΩVin​ = 0,5 VRa​ = 1 kΩRb​ = 2 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = 0,5 VRa = 1 kΩRb = 2 kΩR1 = 100 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0,2 VR1​ = 22 kΩV2​ = 0,7 VR2​ = 1 kΩ

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = 0,2 VV2 = 0,7 VR1 = 22 kΩR2 = 1 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 10 kΩC10 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 30 ms.

Vs = 10 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 10 µFt = 30 ms
vC = V
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 5 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 Vt = 400 ms
vC = V

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 9,059 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω
Req = R1 + 3,059 = 6 + 3,059 = 9,059 Ω

Відповідь

Req = 9,059 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,08748 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 5,538 Ω
R3 + 5,538 = 13,54 Ω
R2 ∥ 13,54 = 7,116 Ω
Req = R1 + 7,116 = 20 + 7,116 = 27,12 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/27,12 = 0,1844 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1844·20 = 1,312 V
IR2 = VA/R2 = 1,312/15 = 0,08748 A

Відповідь

IR2 = 0,08748 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR3 = −0,3214 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBIs​2,5 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 6)/10 + (VA − VB)/4 = 0
0,55·VA − 0,25·VB = 0,6

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/4 = 2,5
−0,25·VA + 0,75·VB = 2,5

Розв’яжіть

Δ = (0,55)(0,75) − (−0,25)(−0,25) = 0,35
VA = Δ1/Δ = 1,075/0,35 = 3,071 V
VB = Δ2/Δ = 1,525/0,35 = 4,357 V

Відповідь

IR3 = (VA − VB)/R3 = (3,071 − 4,357)/4 = −0,3214 A
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 8,223 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 5 ΩR2​ = 6 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​9 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 9 V, V2 = 9 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 9)/5 + (VA − VB)/6 = 0
0,4067·VA − 0,1667·VB = 1,8

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/6 + (VB − 9)/15 = 0,5
−0,1667·VA + 0,2667·VB = 1,1

Розв’яжіть

Δ = (0,4067)(0,2667) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,08067
VA = Δ1/Δ = 0,6633/0,08067 = 8,223 V
VB = Δ2/Δ = 0,7473/0,08067 = 9,264 V

Відповідь

VA = 8,223 V
5.Метод контурних струмів

Відповідь: I1 = 1,13 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​18 VR3​3 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 3(I1 − I2) = 18
13·I1 − 3·I2 = 18

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 3(I2 − I1) = (−10)
−3·I1 + 6·I2 = −10

Розв’яжіть

Δ = (13)(6) − (−3)(−3) = 69
I1 = Δ1/Δ = 78/69 = 1,13 A
I2 = Δ2/Δ = −76/69 = −1,101 A

Відповідь

I1 = 1,13 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = −1,283 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 3 ΩR2​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR4​8 ΩAR5​12 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
3·I1 + 8(I1 − I2) = 30
11·I1 − 8·I2 = 30

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
8·I2 + 8(I2 − I1) + 12(I2 − I3) = 0
−8·I1 + 28·I2 − 12·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 12(I3 − I2) = (−24)
−12·I2 + 16·I3 = −24

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 2320
I1 = Δ1/Δ = 6816/2320 = 2,938 A
I2 = Δ2/Δ = 672/2320 = 0,2897 A
I3 = Δ3/Δ = −2976/2320 = −1,283 A

Відповідь

I3 = −1,283 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR3 = −1,247 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 10+3 = 13 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·13/(12+13) = 6,24 Ω
VA = 9·6,24/(3+6,24) = 6,078 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6,078·3/13 = 1,403 V
IR3′ = (VB − VA)/R3 = (1,403 − 6,078)/10 = −0,4675 A
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​12 ΩAR4​3 ΩBIs​4 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 12,4 = 2,416 Ω
VB = Is·Req = (−4)·2,416 = −9,662 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −9,662·2,4/12,4 = −1,87 V
IR3″ = (VB − VA)/R3 = (−9,662 − −1,87)/10 = −0,7792 A

Додайте складові

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = (−0,4675) + (−0,7792) = −1,247 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: VR2 = 24,93 V

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 3 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​25 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 25 ∥ 28 = 13,21 Ω
VA = 15·13,21/(3+13,21) = 12,22 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 12,22·20/28 = 8,731 V
VR2′ = VB − VA = 8,731 − 12,22 = −3,492 V
R1​ = 3 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 20 ΩКЗR3​25 ΩAIs​5 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 2,679 Ω, тож лівий шлях — R2+2,679 = 10,68 Ω
Req = R4 ∥ 10,68 = 6,962 Ω
VB = Is·Req = 5·6,962 = 34,81 V
VA = VB·2,679/10,68 = 8,731 V
VR2″ = VB − VA = 34,81 − 8,731 = 26,08 V
R1​ = 3 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 20 ΩКЗR3​25 ΩAОБРИВB+−V2​9 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 3·25/(3+25) = 2,679 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 9·10,68/30,68 = 3,133 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,133·2,679/10,68 = 0,7858 V
VR2‴ = VB − VA = 3,133 − 0,7858 = 2,347 V

Додайте складові

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = (−3,492) + 26,08 + 2,347 = 24,93 V

Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,45 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​10 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 10 = 13,33 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(5+10) = 6 V
IN​0,45 ARth​13,33 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 6/13,33 = 0,45 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = −0,4286 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​4 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 4 = 5,333 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,667 + (−2)·1,333 = 4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4 + (−2)·4 = −4 V
Rth​ = 5,333 Ω−+Vth​4 VRL​4 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = −4/(5,333 + 4) = −0,4286 A
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 0,6667 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 0,5·2/(1 + 2) = 0,3333 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0,3333·(1 + 100/100) = 0,6667 V

Відповідь

Vout = 0,6667 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −7,091 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = 0,2/22 = 0,009091 mA
I2 = V2/R2 = 0,7/1 = 0,7 mA
If = I1 + I2 = 0,7091 mA

Вихідна напруга

Vout = −Rf·If = −10·0,7091 = −7,091 V

Відповідь

Vout = −7,091 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 3,116 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·10/(6,8 + 10) = 4,048 kΩ
vC(∞) = 10·10/(6,8 + 10) = 5,952 V

Стала часу

τ = Rth·C = 4,048·10 = 40,48 ms

Крива заряджання

vC(t) = 5,952·(1 − e−30/40,48) = 3,116 V

Відповідь

vC = 3,116 V
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 9,188 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 10 + (5 − 10)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(400) = 10 + (−5)·e−400/220 = 9,188 V

Відповідь

vC = 9,188 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1