Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Ділення
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

  1. Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
  2. Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
  3. Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
  4. Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)

Метод

  1. Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
  2. Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
  3. Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
  4. У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня
ReIm55−5−5θz

Знайдіть аргумент θ числа z = 7 + j4 у градусах, як головне значення між −180° і 180°.

z = 7 + j4
θ = °
2.Комплексні числаСкладна
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

Рівно одна з точок A–D є коренем рівняння z³ = 8∠60°. Клікніть її.

w = 8∠60°n = 3
  1. 1A (2∠−100°)
  2. 2B (2∠60°)
  3. 3C (2∠100°)
  4. 4D (3,6∠−40°)
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
230 V50 HzR = 10 ΩL = 20 mHI

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mH
I = A
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 100 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 100 µF
f0 = Hz
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 7 kWQ = ?Sφ

Однофазний двигун споживає 7 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 7 kWpf = 0,7V = 230 V
Q = kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 103 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 103 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 103 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
V100 kΩ22 mH1 nF

Паралельний RLC-контур має R = 100 кОм, L = 22 mH і C = 1 nF. Знайдіть його добротність Q.

R = 100 kΩL = 22 mHC = 1 nF
Q =
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
VR = ?47 mHC

Послідовний резонансний контур має котушку 47 mH. Який повний послідовний опір R дає смугу пропускання 1 kHz?

L = 47 mHBW = 1 kHz
R = Ω
9.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 208 VIL​ = 100 Acos φ = 0,75відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,75, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 208 VIL = 100 Acos φ = 0,75
P = kW
10.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​9 Vt = 0R = 100 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

Vs = 9 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 4,4 V? Знайдіть t.

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 V
t = ms
13.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAIs​0,5 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 15 VIs = 0,5 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
15.Діаграми Боде та запасиСередня
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 15

Знайдіть фазу ∠G(jω) функції G(s) = 38(s + 19)/(s(s + 4)) за ω = 15 rad/s, у градусах.

G(s) = 38(s + 19)/(s(s + 4))ω = 15 rad/s
∠G(jω) = °
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
|H| (dB)0,10,1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 7)(s + 9)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 6 dB.

L(s) = K/(s(s + 7)(s + 9))GM = 6 dB
K =

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = 29,74 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Чверть

a = 7, b = 4 → I

Опорний кут

α = atan(4/7) = 29,74°

Аргумент

θ = α = 29,74°

Відповідь

θ = 29,74°

У полярній формі z = 8,062∠29,74°.

2.Комплексні числа

Відповідь: A (2∠−100°)

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Модуль і аргументи коренів

|z| = 2
θ = 20°, 140°, −100°

Точка

A = 2∠−100°

Відповідь

A (2∠−100°)
3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 43,23 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XL = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

IR = V/R = 230/10 = 23 A
IX = V/XL = 230/6,283 = 36,61 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(IR² + IX²) = √(23² + 36,61²) = 43,23 A

Відповідь

I = 43,23 A
4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 50,33 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·100·10⁻⁶)) = 50,33 Hz

Відповідь

f0 = 50,33 Hz
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 7,141 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 7·1,02 = 7,141 kvar

Відповідь

Q = 7,141 kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 75,18 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 103·tan(arccos 0,75) = 90,84 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 90,84²) = 178,2 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 178,2 − 103 = 75,18 kW

Відповідь

ΔP = 75,18 kW
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 21,32

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).

Резонансна частота

ω₀ = 1/√(LC) = 213201 rad/s

Добротність

Q = R/(ω₀L) = 100000/(213201·0,022) = 21,32

Відповідь

Q = 21,32

Смуга пропускання дорівнює 1/(2πRC) = 1,592 kHz.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: R = 295,3 Ω

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).

Смуга послідовного контуру

BW = R/(2πL)

Опір

R = 2π·0,047·1000 = 295,3 Ω

Відповідь

R = 295,3 Ω
9.Трифазні системи

Відповідь: P = 27,02 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·208·100 = 36,03 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 36,03·0,75 = 27,02 kW

Відповідь

P = 27,02 kW
10.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 1884 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 94,72 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31573/(314,2·230,9²) = 1884 µF

Відповідь

Cph = 1884 µF
11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,08904 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0,22 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0,09 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,09·(1 − e−1/0,22) = 0,08904 A

Відповідь

i = 0,08904 A
12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 168,6 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Виразіть час

4,4 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,4 − 5)/(4 − 5) = 0,6
t = τ·ln((4 − 5)/(4,4 − 5)) = 330·ln(1,667) = 168,6 ms

Відповідь

t = 168,6 ms
13.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,9677 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​20 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 8 = 15,5 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·20/(12+20) = 15 V
IN​0,9677 ARth​15,5 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 15/15,5 = 0,9677 A
14.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = −1,562 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​5 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 20 = 21,88 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9,375 + (−0,5)·1,875 = 8,438 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,438 + (−0,5)·20 = −1,562 V
15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ∠G(jω) = −126,8 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Додайте кути

∠G = atan(15/19) − 90° − atan(15/4) = 38,29° − 90° − 75,07°

Результат

∠G(j15) = −126,8°

Відповідь

∠G(jω) = −126,8°
16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: K = 505,2

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Перетин за фазою

(ω/7)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(7·9) = 7,937 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 49)·√(ω² + 81)) = K/(7·9·(7 + 9)) = K/1008

Потрібне підсилення

1008/K = 106/20 = 1,995
K = 1008/1,995 = 505,2

Відповідь

K = 505,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2