Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 1,5∠150° і z₂ = 4∠110°; знайдіть дійсну частину w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠150°z₂ = 4∠110°

Re(w) =

2.Комплексні числаСкладна

Корені рівняння zⁿ = w з n = 2 і w = 36∠45° мають вигляд z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Знайдіть дійсну частину z₁.

w = 36∠45°n = 2k = 1

Re(z₁) =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 20 mH і C = 0,047 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,047 µF

B = Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 23 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 23 kWpf = 0,7V = 240 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур резонує на 1 kHz з Q = 5. Знайдіть точне значення нижньої частоти половинної потужності f₁ в Hz.

f₀ = 1 kHzQ = 5

f₁ = Hz

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Паралельний коливальний контур складається з конденсатора 470 pF і котушки 1 mH з опором обмотки 2 Ом. На резонансі він поводиться як резистор, його динамічний опір R_D = L/(C·r). Знайдіть R_D в кОм.

L = 1 mHC = 470 pFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 20 + j15 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 20 + j15 Ω на фазу

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 6 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 75 ms.

V_s = 15 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 75 ms

v_C = V

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

14.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть точний модуль |G(jω)| функції G(s) = 182/((s + 2)(s + 13)) за ω = 0,5 rad/s, у dB.

G(s) = 182/((s + 2)(s + 13))ω = 0,5 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 762/(s(s + 6)(s + 10)). Знайдіть частоту перетину за фазою ω₁₈₀, де ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 762/(s(s + 6)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: Re(w) = 0,2873

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 1,5 / 4 = 0,375

θ = 150° − 110° = 40°

Алгебраїчна форма

Re(w) = 0,375·cos(40°) = 0,2873

Im(w) = 0,375·sin(40°) = 0,241

Re(w) = 0,2873

Відповідь

Re(w) = 0,2873

2.Комплексні числа

Відповідь: Re(z₁) = −5,543

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Модуль коренів

36^1/2 = 6

Аргумент кореня

θ₁ = (45° + 360°·1)/2 = 202,5° → −157,5°

Алгебраїчна форма

z₁ = 6·(cos −157,5° + j sin −157,5°) = −5,543 − j2,296

Re(z₁) = −5,543

Відповідь

Re(z₁) = −5,543

2 коренів лежать на колі радіусом 6 на відстані 180° один від одного.

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,05812 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (152,3)²) = 172,1 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/172,1 = 0,05812 A

Відповідь

I = 0,05812 A

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 397,9 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,047·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,02/(0,047·10⁻⁶)) = 13,05

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 5191/13,05 = 397,9 Hz

Відповідь

B = 397,9 Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 136,9 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 23000/(240·0,7) = 136,9 A

Відповідь

I = 136,9 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 65,79 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 12,61 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(240·0,95) = 65,79 A

Відповідь

I_new = 65,79 A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: f₁ = 905 Hz

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Доданок із коренем

√(1 + 1/(4·5²)) = 1,005

Нижня частота половинної потужності

f₁ = 1000·(1,005 − 0,1) = 905 Hz = 905 Hz

Відповідь

f₁ = 905 Hz

Верхня дорівнює f₂ = 1,105 kHz; перевірка: f₂ − f₁ = 200 Hz = f₀/Q.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: R_D = 1064 kΩ

Динамічний опір

R_D = 0,001/(4,7 × 10⁻¹⁰·2) = 1,064 × 10⁶ Ω = 1064 kΩ

Перевірка через Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 729,3, Q²·r = 1,064 × 10⁶ Ω

Відповідь

R_D = 1064 kΩ

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 1,384 kW

Фазна напруга

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазний струм

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I_ph = 120,1/25 = 4,804 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·4,804²·20 = 1,384 kW

Відповідь

P = 1,384 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 2132 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 107,2 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 35725/(314,2·230,9²) = 2132 µF

Відповідь

C_ph = 2132 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 6,043 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/1,1 = 6,043 V

Відповідь

v_L = 6,043 V

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 9,451 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 15 + (6 − 15)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(75) = 15 + (−9)·e^−75/155,1 = 9,451 V

Відповідь

v_C = 9,451 V

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 0,5882 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 2 = 4,857 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(10+4) = 2,857 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 2,857/4,857 = 0,5882 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 64,2 V

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 8 = 10,4 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,8 + 6·2,4 = 16,2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16,2 + 6·8 = 64,2 V

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: |G(jω)| = 16,63 dB

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Перемножте модулі

|G(j0,5)| = 182/(√(0,5² + 2²)·√(0,5² + 13²)) = 182/(2,062·13,01) = 6,786

Результат

20·log₁₀(6,786) = 16,63 dB

Відповідь

|G(jω)| = 16,63 dB

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ω₁₈₀ = 7,746 rad/s

Перетин за фазою

(ω/6)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·10) = 7,746 rad/s

Відповідь

ω₁₈₀ = 7,746 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Алгебраїчна форма

Відповідь

Модуль коренів

Аргумент кореня

Алгебраїчна форма

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Резонансна частота

Добротність

Смуга пропускання

Відповідь

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Новий струм лінії

Відповідь

Доданок із коренем

Нижня частота половинної потужності

Відповідь

Динамічний опір

Перевірка через Q

Відповідь

Фазна напруга

Фазний струм

Сумарна активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Напруга на котушці

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга в заданий момент

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Перемножте модулі

Результат

Відповідь

Перетин за фазою

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу