Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Повний опір і комплексні амплітуди
Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z
Метод
Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)
Метод
Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
Перехідні процеси RC і RL
Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ
Метод
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Комплексні числаСередня
Число z = 4·ej1,2 має кут у радіанах. Знайдіть його дійсну частину a.
r = 4θ = 1,2 rad
a =
2.Комплексні числаСкладна
Корені рівняння zⁿ = w з n = 4 і w = 81∠135° мають вигляд zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Знайдіть уявну частину z₁.
w = 81∠135°n = 4k = 1
Im(z₁) =
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Індуктивне навантаження споживає 12,5 A і 750 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.
V = 120 VI = 12,5 AP = 750 W
R = Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть новий струм лінії Inew.
P = 20 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
Послідовний RLC-контур має R = 47 Ом, L = 1 mH і C = 10 nF. Знайдіть його смугу пропускання BW в kHz.
R = 47 ΩL = 1 mHC = 10 nF
BW = kHz
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
Паралельний коливальний контур складається з конденсатора 2,2 nF і котушки 100 mH з опором обмотки 10 Ом. На резонансі він поводиться як резистор, його динамічний опір RD = L/(C·r). Знайдіть RD в кОм.
L = 100 mHC = 2,2 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 5 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 208 VZ = 5 + j12 Ω на фазу
P = kW
10.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
Через котушку тече сталий струм 1 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.
i(0) = 1 AR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 20 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 8 V? Знайдіть t.
Vs = 5 VR = 6,8 kΩC = 100 µFvC(0) = 20 V
t = ms
13.Тевенен і НортонСередня
Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.
V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
14.Тевенен і НортонСкладна
Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.
V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
15.Діаграми Боде та запасиСередня
RC-фільтр верхніх частот на рисунку має R = 2,2 kΩ, C = 1 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 140 kHz. Знайдіть коефіцієнт підсилення |H| = |vout/vin| у dB.
R = 2,2 kΩC = 1 nFf = 140 kHz
|H| = dB
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 6)(s + 7)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 20 dB.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 7))GM = 20 dB
K =
3Розчини
1.Комплексні числа
Відповідь: a = 1,449
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Формула Ейлера
z = 4·(cos 1,2 + j sin 1,2)
Компоненти (радіани)
a = 4·cos 1,2 = 1,449
b = 4·sin 1,2 = 3,728
a = 1,449
Відповідь
a = 1,449
2.Комплексні числа
Відповідь: Im(z₁) = 2,494
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
4 коренів лежать на колі радіусом 3 на відстані 90° один від одного.
3.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: |Z| = 7,055 Ω
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XL = ωL = 2π·60·0,02 = 7,54 Ω
Струми віток
Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.
IR = V/R = 120/20 = 6 A
IX = V/XL = 120/7,54 = 15,92 A
Загальний струм
Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.
I = √(IR² + IX²) = √(6² + 15,92²) = 17,01 A
Повний опір
|Z| = V/I = 120/17,01 = 7,055 Ω
Відповідь
|Z| = 7,055 Ω
4.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 0,9217 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω
Повний опір
Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).
Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.
I = V/|Z| = 50/54,25 = 0,9217 A
Відповідь
I = 0,9217 A
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: R = 4,8 Ω
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Активний опір з активної потужності
R = P/I² = 750/12,5² = 4,8 Ω
Відповідь
R = 4,8 Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Inew = 88,73 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(45,57°) = 20,4 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(11,48°) = 4,061 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16,34 kvar
Новий струм лінії
Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(230·0,98) = 88,73 A
Відповідь
Inew = 88,73 A
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: BW = 7,48 kHz
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Смуга пропускання в рад/с
R/L = 47/0,001 = 47000 rad/s
Смуга пропускання в Гц
BW = 47000/(2π) = 7480 Hz = 7,48 kHz
Відповідь
BW = 7,48 kHz
При f₀ = 50,33 kHz це дає Q = 6,728.
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: RD = 4545 kΩ
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Фазний струм
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 120,1/13 = 9,238 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·5 = 1,28 kW
Відповідь
P = 1,28 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
10.Трифазні системи
Відповідь: QC = 25,28 kvar
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 25,28 kvar
Відповідь
QC = 25,28 kvar
11.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,3451 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу
τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms
Спадання струму
i(t) = 1·e−1/0,94 = 0,3451 A
Відповідь
i = 0,3451 A
12.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: t = 1094 ms
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 2 = 4,5 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·15/(3+15) = 8,333 V
Еквівалент Нортона
Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.
IN = Vth/Rth = 8,333/4,5 = 1,852 A
14.Тевенен і Нортон
Відповідь: IN = 2,714 A
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 8 = 10,5 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 2·2,5 = 12,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,5 + 2·8 = 28,5 V
Еквівалент Нортона
Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.
IN = Vth/Rth = 28,5/10,5 = 2,714 A
15.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: |H| = −1,028 dB
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.
Частота зрізу
ωc = 1/(RC) = 1/(2200·1 × 10⁻⁹) = 454545 rad/s
fc = 72343 Hz → f/fc = 140000/72343 = 1,935
Коефіцієнт підсилення
|H| = 1,935/√(1 + 1,935²) = 0,8884
20·log₁₀(0,8884) = −1,028 dB
Відповідь
|H| = −1,028 dB
16.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: K = 54,6
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.