Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Повний опір і комплексні амплітуди
Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z
Метод
Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)
Метод
Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
Перехідні процеси RC і RL
Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ
Метод
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Комплексні числаСередня
Знайдіть аргумент θ числа z = −8 − j6 у градусах, як головне значення між −180° і 180°.
z = −8 − j6
θ = °
2.Комплексні числаСкладна
Рівно одна з точок A–D є коренем рівняння z⁶ = 64∠60°. Клікніть її.
w = 64∠60°n = 6
1A (2∠−110°)
2B (1∠−110°)
3C (2∠−80°)
4D (2∠60°)
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
P = W
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.
V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 4,7 µF
VL = V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Однофазний двигун споживає 36 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть струм лінії I.
P = 36 kWpf = 0,75V = 400 V
I = A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 20 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 220 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
P = 20 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 60 HzC = 220 µF
cos φ =
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
В ідеальному LC-контурі з L = 1 mH і C = 2,2 nF конденсатор повністю заряджений при t = 0. Через який час уся енергія опиниться в котушці? Подайте t у мкс.
L = 1 mHC = 2,2 nF
t = µs
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
Частоти половинної потужності резонансної кривої дорівнюють 10 kHz і 20 kHz. Знайдіть резонансну частоту як їхнє середнє геометричне, а потім добротність Q.
f1 = 10 kHzf2 = 20 kHz
Q =
9.Трифазні системиСередня
Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 22 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 92%, а коефіцієнт потужності 0,8, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм IL.
Pout = 22 kWη = 92%cos φ = 0,8VL = 415 V
IL = A
10.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.
Vs = 5 VR = 50 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 100 ms.
Vs = 20 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 2 Vt = 100 ms
vC = V
13.Тевенен і НортонСередня
Знайдіть опір Тевенена Rth з боку затискачів a–b.
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
14.Тевенен і НортонСкладна
Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.
V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
15.Діаграми Боде та запасиСередня
RC-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 47 kΩ, C = 4,7 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 360 Hz. Знайдіть коефіцієнт підсилення |H| = |vout/vin| у dB.
R = 47 kΩC = 4,7 nFf = 360 Hz
|H| = dB
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 4 dB.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9))GM = 4 dB
K =
3Розчини
1.Комплексні числа
Відповідь: θ = −143,1 °
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Чверть
a = −8, b = −6 → III
Опорний кут
α = atan(6/8) = 36,87°
Аргумент
θ = −(180° − α) = −143,1°
Відповідь
θ = −143,1°
У полярній формі z = 10∠−143,1°.
2.Комплексні числа
Відповідь: A (2∠−110°)
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
Модуль і аргументи коренів
|z| = 2
θ = 10°, 70°, 130°, −170°, −110°, −50°
Точка
A = 2∠−110°
Відповідь
A (2∠−110°)
3.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: P = 6,456 W
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
XL = 62,83 Ω, XC = 361,7 Ω
Повний опір
|Z| = √(60² + (−298,9)²) = 304,8 Ω
Активна потужність
Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.
I = 100/304,8 = 0,328 A
P = I²·R = 0,328²·60 = 6,456 W
Відповідь
P = 6,456 W
4.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: VL = 9,225 V
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Резонанс
При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·4,7·10⁻⁶) = 4613 rad/s
I = V/R = 1/5 = 0,2 A
Напруга на котушці
XL = ω₀L = 4613·0,01 = 46,13 Ω
VL = I·XL = 0,2·46,13 = 9,225 V
Відповідь
VL = 9,225 V
Це в Q = 9,225 разів більше за напругу мережі.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: I = 120 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм лінії
Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.
I = P/(V·cos φ) = 36000/(400·0,75) = 120 A
Відповідь
I = 120 A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,668
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = 20·tan(arccos 0,6) = 26,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4387 var = 4,387 kvar
Q2 = 26,67 − 4,387 = 22,28 kvar
Нова повна потужність
S2 = √(20² + 22,28²) = 29,94 kVA
Новий коефіцієнт потужності
cos φ = P/S2 = 20/29,94 = 0,668
Відповідь
cos φ = 0,668
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: t = 2,33 µs
LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f0 = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV0² стала, тож піковий струм дорівнює Imax = V0√(C/L). Один період — T = 1/f0; енергія переходить від C до L за чверть періоду.
Період
T = 2π√(0,001·2,2 × 10⁻⁹) = 9,319 µs
Чверть періоду
t = T/4 = 2,33 µs
Відповідь
t = 2,33 µs
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: Q = 1,414
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Резонансна частота
f0 = √(10000·20000) = 14142 Hz
Смуга пропускання
BW = 20000 − 10000 = 10000 Hz
Добротність
Q = 14142/10000 = 1,414
Відповідь
Q = 1,414
9.Трифазні системи
Відповідь: IL = 41,58 A
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Електрична вхідна потужність
Pin = Pout/η = 22/0,92 = 23,91 kW
Струм лінії
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23913/(√3·415·0,8) = 41,58 A
Відповідь
IL = 41,58 A
10.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 762 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 114 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0,1 A
Накопичена енергія
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,1² = 0,5 mJ
Відповідь
W(∞) = 0,5 mJ
12.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: vC = 15,86 V
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 20 + (2 − 20)·e−t/τ
Напруга в заданий момент
vC(100) = 20 + (−18)·e−100/68 = 15,86 V
Відповідь
vC = 15,86 V
13.Тевенен і Нортон
Відповідь: Rth = 5,5 Ω
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 4 = 5,5 Ω
14.Тевенен і Нортон
Відповідь: Vth = 49,83 V
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 25·5/(25+5) = 4,167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,167 + 4 = 8,167 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0,8333 + 6·4,167 = 25,83 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25,83 + 6·4 = 49,83 V
15.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: |H| = −0,9679 dB
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.
Частота зрізу
ωc = 1/(RC) = 1/(47000·4,7 × 10⁻⁹) = 4527 rad/s
fc = 720,5 Hz → f/fc = 360/720,5 = 0,4997
Коефіцієнт підсилення
|H| = 1/√(1 + 0,4997²) = 0,8945
20·log₁₀(0,8945) = −0,9679 dB
Відповідь
|H| = −0,9679 dB
16.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: K = 204,4
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.