Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 4∠70° і z₂ = 0,5∠−95°; знайдіть аргумент θ числа w = z₁/z₂ у градусах, між −180° і 180°.

z₁ = 4∠70°z₂ = 0,5∠−95°

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Рівняння z² + 8z + 25 = 0 має два комплексні корені. Знайдіть їхній модуль |z|.

p = 8q = 25

|z| =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 1 mH має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 200 HzL = 1 mH

C = µF

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

I = A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 24 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 24 kWpf = 0,8V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Конденсатор 47 pF, заряджений до 6 В, коливається з ідеальною котушкою 100 mH. Знайдіть енергію W_L, запасену в котушці в мить, коли напруга на конденсаторі дорівнює 3,6 В, в nJ.

C = 47 pFV₀ = 6 Vv_C = 3,6 V

W_L = nJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Частоти половинної потужності резонансної кривої дорівнюють 8 kHz і 8,4 kHz. Знайдіть резонансну частоту як їхнє середнє геометричне, а потім добротність Q.

f₁ = 8 kHzf₂ = 8,4 kHz

Q =

9.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 90%cos φ = 0,85V_L = 690 V

I_L = A

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 8,3 V? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть напругу Тевенена V_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 3 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність P_L, що передається навантаженню.

V₁ = 9 VI_s = 1,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

15.Діаграми Боде та запасиСередня

У показаному послідовному смуговому RLC-фільтрі вихід знімають з R = 5 Ω, при L = 100 mH і C = 10 µF. Знайдіть центральну (резонансну) частоту f₀ у Hz.

R = 5 ΩL = 100 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 15 dB.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 15 dB

K =

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = 165 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 4 / 0,5 = 8

θ = 70° − (−95)° = 165°

Аргумент

θ = 165°

Відповідь

θ = 165°

2.Комплексні числа

Відповідь: |z| = 5

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Дискримінант

p² − 4q = 64 − 100 = −36 < 0

Формула коренів квадратного рівняння

z = (−8 ± j√36)/2 = −4 + j3, −4 − j3

Відповідь

|z| = √((−4)² + 3²) = √25 = 5

Відповідь

|z| = 5

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 633,3 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,001) = 633,3 µF

Відповідь

C = 633,3 µF

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 3,491 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 9,2 − j28,9 Ω

Повний опір

Z = 50 + 9,2 − j28,9 = 59,2 − j28,9 Ω

|Z| = √(59,2² + 28,9²) = 65,88 Ω

Струм

I = V/|Z| = 230/65,88 = 3,491 A

Відповідь

I = 3,491 A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 18 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 24·0,75 = 18 kvar

Відповідь

Q = 18 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 1498 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 24,9 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 24895/(2π·50·230²) = 1498 µF

Відповідь

C = 1498 µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: W_L = 0,5414 nJ

LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f₀ = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV₀² стала, тож піковий струм дорівнює I_max = V₀√(C/L). Один період — T = 1/f₀; енергія переходить від C до L за чверть періоду.

Повна енергія

½·4,7 × 10⁻¹¹·6² = 8,46 × 10⁻¹⁰ J

Енергія, що лишилася в конденсаторі

½·4,7 × 10⁻¹¹·3,6² = 3,046 × 10⁻¹⁰ J

Енергія в котушці

W_L = 5,414 × 10⁻¹⁰ J = 0,5414 nJ

Відповідь

W_L = 0,5414 nJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 20,49

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Резонансна частота

f₀ = √(8000·8400) = 8198 Hz

Смуга пропускання

BW = 8400 − 8000 = 400 Hz

Добротність

Q = 8198/400 = 20,49

Відповідь

Q = 20,49

9.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 8,203 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,9 = 8,333 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8333/(√3·690·0,85) = 8,203 A

Відповідь

I_L = 8,203 A

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 109,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,88 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6627/(377·400²) = 109,9 µF

Відповідь

C_ph = 109,9 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 89,26 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·1,091² = 89,26 mJ

Відповідь

W(∞) = 89,26 mJ

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 78,47 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Виразіть час

8,3 = 9 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,3 − 9)/(8 − 9) = 0,7

t = τ·ln((8 − 9)/(8,3 − 9)) = 220·ln(1,429) = 78,47 ms

Відповідь

t = 78,47 ms

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: V_th = 4,235 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 6 = 9,529 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·12/(5+12) = 4,235 V

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: P_L = 7,671 W

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,839 + 20 = 24,84 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,258 + 1,5·4,839 = 14,52 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,52 + 1,5·20 = 44,52 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 44,52/(24,84 + 3) = 1,599 A

P_L = I_L²·R_L = 1,599²·3 = 7,671 W

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: f₀ = 159,2 Hz

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Резонансна частота

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·1 × 10⁻⁵) = 1000 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 159,2 Hz

Відповідь

f₀ = 159,2 Hz

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: K = 54,77

Перетин за фазою

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·7) = 5,292 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

Потрібне підсилення

308/K = 10^15/20 = 5,623

K = 308/5,623 = 54,77

Відповідь

K = 54,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Аргумент

Відповідь

Дискримінант

Формула коренів квадратного рівняння

Відповідь

Відповідь

Умова резонансу

Відповідь

Реактивний опір

Паралельне з’єднання

Повний опір

Струм

Відповідь

Кут

Реактивна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Ємність

Відповідь

Повна енергія

Енергія, що лишилася в конденсаторі

Енергія в котушці

Відповідь

Резонансна частота

Смуга пропускання

Добротність

Відповідь

Електрична вхідна потужність

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Накопичена енергія

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Виразіть час

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Резонансна частота

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Потрібне підсилення

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу