Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Повний опір і комплексні амплітуди
Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z
Метод
Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)
Метод
Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
Перехідні процеси RC і RL
Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ
Метод
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Комплексні числаСередня
Діаграма показує z = 4 − j2. Для w = 2∠90° клікніть точку, що зображує z·w.
z = 4 − j2w = 2∠90°
1A (1 + j2)
2B (4 + j8)
3C (−4 − j8)
4D (2 + j4)
2.Комплексні числаСкладна
Корені рівняння zⁿ = w з n = 5 і w = 32∠0° мають вигляд zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Знайдіть дійсну частину z₀.
w = 32∠0°n = 5k = 0
Re(z₀) =
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF
cos φ =
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 2 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.
R = 5 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF
B = Hz
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 15 + j20 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.
V = 120 VZ = 15 + j20 Ω
P = W
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть новий струм лінії Inew.
P = 35 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
В ідеальному LC-контурі з L = 100 mH і C = 100 nF конденсатор повністю заряджений при t = 0. Через який час уся енергія опиниться в котушці? Подайте t у мкс.
L = 100 mHC = 100 nF
t = µs
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
Частоти половинної потужності резонансної кривої дорівнюють 10 kHz і 12,5 kHz. Знайдіть резонансну частоту як їхнє середнє геометричне, а потім добротність Q.
f1 = 10 kHzf2 = 12,5 kHz
Q =
9.Трифазні системиСередня
Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 80 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.
VL = 208 VIL = 80 Acos φ = 0,82
P = kW
10.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.
P = 200 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.
Vs = 10 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 6 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 11,6 V? Знайдіть t.
Vs = 20 VR = 6,8 kΩC = 33 µFvC(0) = 6 V
t = ms
13.Тевенен і НортонСередня
Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.
V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
14.Тевенен і НортонСкладна
Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.
V1 = 10 VIs = 3 AR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
15.Діаграми Боде та запасиСередня
RC-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 1 kΩ, C = 22 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 72 kHz. Знайдіть коефіцієнт підсилення |H| = |vout/vin| у dB.
R = 1 kΩC = 22 nFf = 72 kHz
|H| = dB
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 2 dB.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4))GM = 2 dB
K =
3Розчини
1.Комплексні числа
Відповідь: B (4 + j8)
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Дія w
|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°
Точка
z·w = 4 + j8 → B
Відповідь
B (4 + j8)
2.Комплексні числа
Відповідь: Re(z₀) = 2
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
Модуль коренів
321/5 = 2
Аргумент кореня
θ₀ = (0° + 360°·0)/5 = 0°
Алгебраїчна форма
z₀ = 2·(cos 0° + j sin 0°) = 2
Re(z₀) = 2
Відповідь
Re(z₀) = 2
5 коренів лежать на колі радіусом 2 на відстані 72° один від одного.
3.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: cos φ = 0,5808
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
XL = 62,83 Ω, XC = 6,773 Ω
Повний опір
|Z| = √(40² + (56,06)²) = 68,87 Ω
Коефіцієнт потужності
cos φ = R/|Z| = 40/68,87 = 0,5808
Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).
Відповідь
cos φ = 0,5808
4.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: B = 397,9 Hz
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Резонансна частота
f0 = 1/(2π·√(0,002·0,47·10⁻⁶)) = 5191 Hz
Добротність
Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: P = 345,6 W
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A
Активна потужність
P = I²·R = 4,8²·15 = 345,6 W
Відповідь
P = 345,6 W
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Inew = 148,8 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(49,46°) = 40,92 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 33,81 kvar
Новий струм лінії
Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(240·0,98) = 148,8 A
Відповідь
Inew = 148,8 A
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: t = 157,1 µs
LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f0 = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV0² стала, тож піковий струм дорівнює Imax = V0√(C/L). Один період — T = 1/f0; енергія переходить від C до L за чверть періоду.
Період
T = 2π√(0,1·1 × 10⁻⁷) = 628,3 µs
Чверть періоду
t = T/4 = 157,1 µs
Відповідь
t = 157,1 µs
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: Q = 4,472
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Резонансна частота
f0 = √(10000·12500) = 11180 Hz
Смуга пропускання
BW = 12500 − 10000 = 2500 Hz
Добротність
Q = 11180/2500 = 4,472
Відповідь
Q = 4,472
9.Трифазні системи
Відповідь: P = 23,63 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Повна потужність
S = √3·VL·IL = √3·208·80 = 28,82 kVA
Активна потужність
P = S·cos φ = 28,82·0,82 = 23,63 kW
Відповідь
P = 23,63 kW
10.Трифазні системи
Відповідь: QC = 64,8 kvar
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 64,8 kvar
Відповідь
QC = 64,8 kvar
11.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,1062 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
t = τ·ln((6 − 20)/(11,6 − 20)) = 224,4·ln(1,667) = 114,6 ms
Відповідь
t = 114,6 ms
13.Тевенен і Нортон
Відповідь: Vth = 11,25 V
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 20 = 23,75 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·10/(6+10) = 11,25 V
14.Тевенен і Нортон
Відповідь: Vth = 104,6 V
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 30 = 33,43 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + 3·3,429 = 14,57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14,57 + 3·30 = 104,6 V
15.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: |H| = −20 dB
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.
Частота зрізу
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·2,2 × 10⁻⁸) = 45455 rad/s
fc = 7234 Hz → f/fc = 72000/7234 = 9,953
Коефіцієнт підсилення
|H| = 1/√(1 + 9,953²) = 0,09997
20·log₁₀(0,09997) = −20 dB
Відповідь
|H| = −20 dB
16.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: K = 66,72
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.