Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.
М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.
Санки масою 15 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 20° над горизонталлю із силою 60 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.
Брусок масою 4,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.
М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 10 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 75 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Поворот радіусом 200 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу швидкість vmin, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вниз по нахилу.
Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 2000 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 3 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.
Брусок масою 20 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 170 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 4 m угору схилом.
Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 17 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Автомобіль масою 1800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1500 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 9 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v1 першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.
Однорідний тонкий стрижень масою 10,5 kg і довжиною 2,8 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення atip вільного кінця одразу після відпускання.
тонкий обруч масою 19 kg котиться без проковзування зі швидкістю 1,5 m/s. Знайдіть його повну кінетичну енергію Ek.
Пас іде на ведучому шківі 120 мм при 720 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 600 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.
Відкритий пас з’єднує ведучий шків 80 мм при 1500 об/хв зі шківом 300 мм; центри розташовані на відстані 800 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).
Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.
Вантаж масою 2,2 kg на пружині з k = 390 N/m відтягують на 19 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення amax.
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через один цикл іде пік 8,2 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 12 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: t = 3,704 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: t = 5,387 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: a = 1,226 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: a = 2,636 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: x = 127,5 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: t = 3,147 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 21,01 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: vmin = 25,76 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Тертя спрямоване вгору схилом.
Відповідь: h = 1,835 m
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: v = 4,54 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: v = 549,7 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: v1 = 17,23 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: atip = 14,71 m/s²
Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.
У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.
atip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.
Відповідь: Ek = 42,75 J
Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.
Відповідь: P = 2,714 kW
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: P = 3,214 kW
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: L = 1,096 m
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: amax = 33,68 m/s²
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,06049
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: fn = 7,926 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics