Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1100 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 55 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 19 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 55 mv_0B = 19 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 160 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 160 Nθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 20° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 8 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 22 m/s під кутом 70° над горизонталлю в бік стіни на відстані 22 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 22 m/sθ = 70°x = 22 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 39 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 5 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 39 m/sθ = 35°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 120 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 120 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 80 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 80 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 4 mL = 5 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 0,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 10 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 16 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,1 kgv_in = 10 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 25 kg·m² обертається з частотою 1000 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 130 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 25 kg·m²n = 1000 rpmT_b = 130 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 30° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменший коефіцієнт тертя спокою μ_s, який не допускає проковзування.

θ = 30°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 20, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 50η = 96%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (48 зубців). Колесо C (30 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 135 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 12B = 48C = 30n_out = 135 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 2 m має період 4,61 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 2 mT = 4,61 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 110 N/m відтягують на 5 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 1 kgk = 110 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 3 циклів іде пік 11,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 11,7 mmn = 3

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 25 kN/m, нижня — k₂ = 15 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,75 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1100) = 2,75 m/s²

Відповідь

a = 2,75 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: y = 13,9 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

55 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 55/19 = 2,895 s

Висота зустрічі

y = 19·2,895 − ½·9,81·2,895² = 13,9 m

Відповідь

y = 13,9 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,728 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 160·sin 40° = 93,35 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 122,6 − 28,01

a = 94,56/20 = 4,728 m/s²

Відповідь

a = 4,728 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 5,654 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·5,66) = 5,654 m

Відповідь

d = 5,654 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 18,51 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 22·cos 70° = 7,524 m/s

t = x/v_x = 22/7,524 = 2,924 s

Висота в цей момент

y = 20,67·2,924 − ½·9,81·2,924² = 18,51 m

Відповідь

y = 18,51 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 138,2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 31,95 m/s, v_y = 22,37 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

5 = 22,37·t − 4,905·t²

t = (22,37 + √(22,37² − 2·9,81·5))/9,81 = 4,325 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 31,95·4,325 = 138,2 m

Відповідь

x = 138,2 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 28,71 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·120) = 28,71 m/s

Відповідь

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,801 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Відповідь

v_min = 2,801 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 41,95 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22,22²/(2·0,6·9,81) = 41,95 m

Відповідь

d = 41,95 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 78,3 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,3·5) = 245,3 J

Найбільше стиснення

½kx² = 245,3 → x = √(2·245,3/800) = 0,783 m = 78,3 cm

Відповідь

x = 78,3 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2,75 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (0,5 − 3,5)/(0,5 + 3,5)·11 = −8,25 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 3,5)·11 = 2,75 m/s

Відповідь

v′₂ = 2,75 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 65 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(16 + 10) = 2,6 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 2,6/0,04 = 65 N

Відповідь

F_avg = 65 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 167,8 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·25·104,7² = 137078 J

θ = 137078/130 = 1054 rad

Оберти

N = θ/2π = 167,8 rev

Відповідь

N = 167,8 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: μ_s = 0,165

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,4 = 3,504 m/s²

Потрібне тертя

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 30°/1,4 = 0,165

Відповідь

μ_s = 0,165

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 9,947 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Відповідь

T₁ = 9,947 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·12/48 = 360 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 30·360/135 = 80

Відповідь

N_D = 80

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/4,61² = 3,715 m/s²

Відповідь

g = 3,715 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 5,5 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(110/1) = 10,49 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,05·10,49² = 5,5 m/s²

Відповідь

a_max = 5,5 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04989

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(30/11,7) = 0,3139

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Відповідь

ζ = 0,04989

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 9,375 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/15 → k_eq = 25·15/(25 + 15) = 9,375 kN/m

Відповідь

k_eq = 9,375 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics