Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 80 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 38 m/s² протягом 1,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 17 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 17 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 50 N тягне передній брусок масою 5 kg; брусок масою 2 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgF = 50 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 24 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,7 kg на легкій нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,7 kgr = 0,7 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 12 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,2d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 16 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 5 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 27 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 12 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 27 m/sv_out = 12 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 26 kg·m² обертається з частотою 2300 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 80 N·m. Скільки часу t він зупиняється?

I = 26 kg·m²n = 2300 rpmT_b = 80 N·m

t = s

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля масою 11 kg котиться без проковзування зі швидкістю 3,5 m/s. Знайдіть його кінетичну енергію обертання E_rot.

m = 11 kgv = 3,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою 2900 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 3. Черв’ячне колесо має 45 зубців, ККД передачі 70 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 3N_w = 45n = 2900 rpmP = 1,5 kWη = 70%

T_w = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (50 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (36 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 50B = 80C = 36D = 50

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 3,8 s і амплітудою 19 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 19 cm до зміщення 15,2 cm?

T = 3,8 sA = 19 cmx = 15,2 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 2450 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 2450 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 25 kN/m, нижня — k₂ = 12 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 35,27 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7) = 35,27 m

Відповідь

s = 35,27 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 208,3 m

Активна ділянка

v₁ = 38·1,5 = 57 m/s

h₁ = ½·38·1,5² = 42,75 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 57²/(2·9,81) = 165,6 m

h_max = 42,75 + 165,6 = 208,3 m

Відповідь

h_max = 208,3 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,856 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Відповідь

a = 4,856 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,2 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (50 − 20,6)/7 = 4,2 m/s²

Відповідь

a = 4,2 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 55,17 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19,66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13,77 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·13,77/9,81 = 2,806 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 19,66·2,806 = 55,17 m

Відповідь

x = 55,17 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,541 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 15° = 33,81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 15° = 9,059 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 9,059·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,059 + √(82,06 + 1177))/9,81 = 4,541 s

Відповідь

t = 4,541 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 24,26 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·100) = 24,26 m/s

Відповідь

v_max = 24,26 m/s (87,34 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 184,4 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,7 = 82,78 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·82,78/0,7 − 1,7·9,81 = 184,4 N

Відповідь

T_top = 184,4 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,772 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,5 − 0,2·0,866)) = 8,772 m/s

Відповідь

v = 8,772 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,859 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,2·5) = 39,24 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Відповідь

v = 8,859 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 1774 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 5)·1,772/0,005 = 1774 m/s

Відповідь

v = 1774 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 11,7 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(12 + 27) = 11,7 N·s

Відповідь

J = 11,7 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 78,28 s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2300/60 = 240,9 rad/s

Сповільнення і час

α = T_b/I = 80/26 = 3,077 rad/s²

t = ω/α = 240,9/3,077 = 78,28 s

Відповідь

t = 78,28 s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_rot = 26,95 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·11·3,5² = 67,38 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·67,38 = 26,95 J

Відповідь

E_rot = 26,95 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 51,86 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·3/45 = 193,3 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·193,3/60 = 20,25 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·1500/20,25 = 51,86 N·m

Відповідь

T_w = 51,86 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 652,5 rpm

Перший ступінь

n_B = 1450·50/80 = 906,3 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 906,3·36/50 = 652,5 rpm

Відповідь

n_out = 652,5 rpm

загальне передаточне відношення = 2,222 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,2485 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Відповідь

L = 0,2485 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,3892 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/3,8 = 1,653 rad/s

Виразіть час

0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad

t = 0,6435/1,653 = 0,3892 s

Відповідь

t = 0,3892 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5001

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 2450/4899 = 0,5001

Відповідь

ζ = 0,5001

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,205 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/12 → k_eq = 25·12/(25 + 12) = 8,108 kN/m

Власна частота

ω_n = √(8108/20) = 20,13 rad/s

f_n = 20,13/(2π) = 3,205 Hz

Відповідь

f_n = 3,205 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics