Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Водійка, що їде зі швидкістю 54 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,4 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.
Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 4,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.
Брусок масою 12 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.
Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 50 N тягне передній брусок масою 2 kg; брусок масою 8 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.
М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
М’яч кидають зі швидкістю 34 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 115 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Кульку масою 0,6 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.
Брусок масою 4 kg ковзає 14 m похилою площиною під кутом 25° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу Wf проти сили тертя.
Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.
Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′2 другого візка після зіткнення.
Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Двигун розганяє маховик із моментом інерції 0,5 kg·m² зі стану спокою до 1400 rpm за 42 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність Pavg, яку він віддає, у kW.
Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 1 kg на відстані 0,85 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 35 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,35 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n2 в rpm.
Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 30, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (32 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.
Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 320 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 15 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 13 cm від положення рівноваги.
Вантаж масою 3,3 kg на пружині з k = 370 N/m відтягують на 4 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення amax.
Маса 10 kg на пружині жорсткістю 15 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.
Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 80 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: d = 35,06 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: d = 77,47 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: a = 5,179 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Униз уздовж площини — додатний напрямок.
Відповідь: a = 2,057 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: t = 2,825 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: v = 44,05 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.
Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.
Відповідь: vmax = 23,75 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: T = 15,23 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
До центра (угору) — додатний напрямок.
Відповідь: Wf = 124,5 J
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: v = 5,943 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′2 = 5,833 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: v = 745,9 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: Pavg = 0,1279 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Відповідь: n2 = 43,01 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.
Відповідь: T1 = 3,622 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: nout = 652,5 rpm
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
загальне передаточне відношення = 4,444 : 1
Відповідь: v = 1,497 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: amax = 4,485 m/s²
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: fd = 5,88 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: fn = 3,011 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні лише k1 і k2. Ця пара з’єднана послідовно з k3, тож об’єднуйте їх через обернені величини.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics