Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 45 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 7 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 16 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 16 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 35° над горизонталлю, і він падає на відстані 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 35°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 400 m має нахил полотна 12°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 400 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 230 m має нахил полотна 18°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 230 mθ = 18°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1500 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 500 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 500 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 15 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 135 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 2 m угору схилом.

m = 15 kgF = 135 Nθ = 25°μ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 8 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 3,5 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 28 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 14 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 28 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун розганяє маховик із моментом інерції 17 kg·m² зі стану спокою до 2500 rpm за 14 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність P_avg, яку він віддає, у kW.

I = 17 kg·m²n = 2500 rpmt = 14 s

P_avg = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 2 kg і довжиною 1,7 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 35 g, що летить горизонтально зі швидкістю 600 m/s, влучає в стрижень на 0,93 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Знайдіть кутову швидкість ω стрижня одразу після удару.

M = 2 kgL = 1,7 mm = 35 gv = 600 m/sd = 0,93 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 60, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 60N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (40 зубців). Колесо C (20 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 960 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 30B = 40C = 20n_out = 960 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,4 m має період 3,85 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,4 mT = 3,85 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 130 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,6 kgk = 130 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 250 kgk = 25 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 15 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 22,32 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·3,5) = 22,32 m

Відповідь

s = 22,32 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,288 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,288 s

Відповідь

t = 3,288 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,781 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Відповідь

a = 2,781 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 29,18 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 16,68)/12 = 1,471 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8,5·1,471 + 16,68 = 29,18 N

Відповідь

T = 29,18 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 12,51 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 70°) = 12,51 m/s

Відповідь

v₀ = 12,51 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 132 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 45° = 23,33 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 45° = 23,33 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 23,33·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23,33 + √(544,5 + 490,5))/9,81 = 5,658 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 23,33·5,658 = 132 m

Відповідь

x = 132 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 28,88 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(400·9,81·tan 12°) = 28,88 m/s

Відповідь

v = 28,88 m/s

(104 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 39,53 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(230·9,81·0,5943/0,8584) = 39,53 m/s

Відповідь

v_max = 39,53 m/s

(142,3 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 38,16 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 500 = 1526 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1526·25 = 38162 W = 38,16 kW

Відповідь

P = 38,16 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,753 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 62,19 N

μ·mg·cos θ = 20 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (135 − 82,19)·2 = 105,6 J

v = √(2·105,6/15) = 3,753 m/s

Відповідь

v = 3,753 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 439,7 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 3,5)·1,253/0,01 = 439,7 m/s

Відповідь

v = 439,7 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 294 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(14 + 28) = 14,7 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 14,7/0,05 = 294 N

Відповідь

F_avg = 294 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P_avg = 41,61 kW

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2500/60 = 261,8 rad/s

Енергія

E = ½·I·ω² = ½·17·261,8² = 582581 J

Середня потужність

P_avg = E/t = 582581/14 = 41613 W = 41,61 kW

Відповідь

P_avg = 41,61 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 9,98 rad/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 2·1,7²/3 + 0,035·0,93² = 1,957 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,035·600·0,93/1,957 = 9,98 rad/s

Відповідь

ω = 9,98 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 26,53 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Відповідь

T₁ = 26,53 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 45

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 2880·30/40 = 2160 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·2160/960 = 45

Відповідь

N_D = 45

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,729 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,4/3,85² = 3,729 m/s²

Відповідь

g = 3,729 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 6 m/s²

Кутова частота

ω = √(130/2,6) = 7,071 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,12·7,071² = 6 m/s²

Відповідь

a_max = 6 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,491 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/250) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,35²) = 1,491 Hz

Відповідь

f_d = 1,491 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,707 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 15 = 45 kN/m

k_eq = 45·60/(45 + 60) = 25,71 kN/m

Власна частота

ω_n = √(25714/20) = 35,86 rad/s

f_n = 35,86/(2π) = 5,707 Hz

Відповідь

f_n = 5,707 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics