Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 45 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 13 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 9 st₂ = 13 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 15 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 20° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 10 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8 kgm₂ = 10 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 25° над горизонталлю, і він падає на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 25°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 17 m/s під кутом 65° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 17 m/sθ = 65°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 2 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 2 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 2000 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 750 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 2000 kgθ = 8°F_r = 750 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 6 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 1,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 9 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 3,5 kgh = 9 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 17 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,25 kgv_in = 15 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 30,5 kg·m² обертається з частотою 1900 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 125 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 30,5 kg·m²n = 1900 rpmT_b = 125 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

порожниста куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 10° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Воно починає зі спокою. Скільки часу t воно котиться на 6,5 m вниз по схилу?

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 6,5 m

t = s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 15, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 20. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 20η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (24 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (36 зубців). Колесо C (15 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 750 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1500 rpmA = 24B = 36C = 15n_out = 750 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 5 g, що летить зі швидкістю 250 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 4 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1700 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 5 gv = 250 m/sM = 4 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через 5 циклів іде пік 10,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 10,7 mmn = 5

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 25 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 11,16 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7) = 11,16 m

Відповідь

s = 11,16 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 167,6 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·9 = 9 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·9² = 40,5 m

s₂ = 9·13 = 117 m

s₃ = 9²/(2·4) = 10,13 m

Повна відстань

s = 40,5 + 117 + 10,13 = 167,6 m

Відповідь

s = 167,6 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 64,16 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 50,33 + 13,83 = 64,16 N

Відповідь

F = 64,16 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,549 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 26,84 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,375 N

Прискорення системи

a = (98,1 − 26,84 − 7,375)/18 = 3,549 m/s²

Відповідь

a = 3,549 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 35,79 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 50°) = 35,79 m/s

Відповідь

v₀ = 35,79 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 22,1 m

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 17·sin 65° = 15,41 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 15,41²/(2·9,81) = 12,1 m

Висота над землею

H = 10 + 12,1 = 22,1 m

Відповідь

H = 22,1 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 26,2 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·100) = 26,2 m/s

Відповідь

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 5 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2 = 5 m

Відповідь

h_min = 5 m

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 87,01 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 8° = 2731 N

F = 2731 + 750 = 3481 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 3481·25 = 87014 W = 87,01 kW

Відповідь

P = 87,01 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,084 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 58,86·1,5 = 88,29 J

μ·m₁g·d = 0,3·29,43·1,5 = 13,24 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 75,05 → v = √(2·75,05/9) = 4,084 m/s

Відповідь

v = 4,084 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 931,5 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,09) = 1,329 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3,5)·1,329/0,005 = 931,5 m/s

Відповідь

v = 931,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(17 + 15) = 8 N·s

Відповідь

J = 8 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 768,7 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·30,5·199² = 603718 J

θ = 603718/125 = 4830 rad

Оберти

N = θ/2π = 768,7 rev

Відповідь

N = 768,7 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 3,566 s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,667 = 1,022 m/s²

Час

s = ½·a·t² → t = √(2·6,5/1,022) = 3,566 s

Відповідь

t = 3,566 s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 99,47 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Відповідь

T₁ = 99,47 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 20

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1500·24/36 = 1000 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 15·1000/750 = 20

Відповідь

N_D = 20

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,837 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Відповідь

T = 2,837 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: A = 1,515 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,005·250/4,005 = 0,3121 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/4,005) = 20,6 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,3121/20,6 = 0,01515 m = 1,515 cm

Відповідь

A = 1,515 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,01991

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(20/10,7) = 0,1251

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1251/√(39,48 + 0,01565) = 0,01991

Відповідь

ζ = 0,01991

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 20 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

Відповідь

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics