Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 45 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 28 m/s² протягом 1 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 30 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 30° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 30 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 95 N тягне передній брусок масою 4 kg; брусок масою 7 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgF = 95 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 75 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 75 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 4,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 14,85 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 4,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 4,5 kgh = 14,85 mR = 4,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 15 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 30°μ = 0,15d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 9 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 3 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 1 kgh = 9 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 2000 kg, що рухається зі швидкістю 22 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 2000 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1900 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1100 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 7,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1100 kgd = 7,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 4 kg і довжиною 0,5 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його кутове прискорення α одразу після відпускання.

m = 4 kgL = 0,5 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

порожниста куля починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 40° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,35 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 9,5 m вздовж схилу.

θ = 40°s = 9,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,35 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 150 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 5 mm і передаточним відношенням 1,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 150 mmm = 5 mmi = 1,5

N₁ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 20 зубців, а кожен сателіт — 20 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1800 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 20N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,9 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 110 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,6 kgk = 110 N/mA = 15 cm

E = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через 2 циклів іде пік 7,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 7,1 mmn = 2

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 30 kN/m, нижня — k₂ = 12 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,273 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12,5/5,5 = 2,273 s

Відповідь

t = 2,273 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 53,96 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9,81) = 39,96 m

h_max = 14 + 39,96 = 53,96 m

Відповідь

h_max = 53,96 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 172,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 147,1 + 25,49 = 172,6 N

Відповідь

F = 172,6 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 60,45 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 10,79)/11 = 7,655 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(7,655 + 0,981) = 60,45 N

Відповідь

T = 60,45 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 90,4 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27,71 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·27,71/9,81 = 5,65 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16·5,65 = 90,4 m

Відповідь

x = 90,4 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 17,7 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 15° = 12,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 15° = 3,365 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 3,365·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,365 + √(11,32 + 98,1))/9,81 = 1,409 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,56·1,409 = 17,7 m

Відповідь

x = 17,7 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 14,86 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·75) = 14,86 m/s

Відповідь

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 335,5 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·14,85 = 291,4 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 4,5·291,4/4,5 + 44,15 = 335,5 N

Відповідь

N_bottom = 335,5 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 19,12 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,866 = 8,496 N

F = μN = 0,15·8,496 = 1,274 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,274·15 = 19,12 J

Відповідь

W_f = 19,12 J

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 9,81 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(9 − 6) = 58,86 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·58,86/3 − 9,81 = 9,81 N

Відповідь

N = 9,81 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 207429 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·22/3500 = 12,57 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·2000·22² = 484000 J

K_after = ½·3500·12,57² = 276571 J

Втрачена енергія

ΔK = 484000 − 276571 = 207429 J

Відповідь

ΔK = 207429 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 14,84 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·7,5) = 9,396 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·9,396/1900 = 14,84 m/s

Відповідь

v₁ = 14,84 m/s

(53,41 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: α = 29,43 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,5) = 29,43 rad/s²

Відповідь

α = 29,43 rad/s²

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 24,22 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Висота спуску

h = s·sin θ = 9,5·sin 40° = 6,106 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·6,106/1,667) = 8,479 m/s

ω = v/r = 8,479/0,35 = 24,22 rad/s

Відповідь

ω = 24,22 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/5 = 60

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 60/(1 + 1,5) = 24

Відповідь

N₁ = 24

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 600 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·20 = 60

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·20/60 = −600 rpm

|n_r| = 600 rpm

Відповідь

n_r = 600 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,416 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Відповідь

T = 3,416 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,238 J

Кутова частота

ω = √(110/0,6) = 13,54 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·110·0,15² = 1,238 J

Відповідь

E = 1,238 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,09967

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(25/7,1) = 0,6294

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6294/√(39,48 + 0,3961) = 0,09967

Відповідь

ζ = 0,09967

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 6,59 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/12 → k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m

Власна частота

ω_n = √(8571/5) = 41,4 rad/s

f_n = 41,4/(2π) = 6,59 Hz

Відповідь

f_n = 6,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics