Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 15 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 13 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 13 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 3 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 3 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 135 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 4,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 24,8 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 8 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 4,5 kgh = 24,8 mR = 8 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,1d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 10 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 18 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 2 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 37 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 8 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 10 kgu = 18 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 37 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 800 kg, що їде на схід зі швидкістю 16 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 900 kg, що їде на північ зі швидкістю 10 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 800 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 10 m/s (N)

θ = °

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 29 kg·m² обертається з частотою 3000 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 100 N·m. Скільки часу t він зупиняється?

I = 29 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 100 N·m

t = s

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля масою 11 kg котиться без проковзування зі швидкістю 5,5 m/s. Який відсоток p його повної кінетичної енергії становить енергія обертання?

m = 11 kgv = 5,5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 150 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 400 Н на ведучій гілці та 200 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (30 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (45 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 30C = 16D = 45

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 470 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 13 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 7 cm від положення рівноваги.

m = 1,9 kgk = 470 N/mA = 13 cmx = 7 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 50 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 13 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

k = 50 N/mA = 13 cmx = 5 cm

K = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 3 циклів іде пік 2,3 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 2,3 mmn = 3

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 15 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 37,5 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37,5 m

Відповідь

s = 37,5 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 46,47 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Висота над землею

h_max = 35 + 11,47 = 46,47 m

Відповідь

h_max = 46,47 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,479 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Відповідь

a = 1,479 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 0,8212 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·5,48) = 0,8212 m

Відповідь

d = 0,8212 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 26,1 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·11,31/9,81 = 2,307 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11,31·2,307 = 26,1 m

Відповідь

x = 26,1 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 43,18 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12,26 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 12,26·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,26 + √(150,2 + 686,7))/9,81 = 4,198 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,28·4,198 = 43,18 m

Відповідь

x = 43,18 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 19,93 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·135) = 19,93 m/s

Відповідь

v_max = 19,93 m/s (71,76 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 52,97 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(24,8 − 2·8) = 172,7 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 4,5·172,7/8 − 44,15 = 52,97 N

Відповідь

N_top = 52,97 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 30,58 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,1·16,99 = 1,699 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,699·18 = 30,58 J

Відповідь

W_f = 30,58 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 39,62 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,2·4,5) = 39,24 J

Найбільше стиснення

½kx² = 39,24 → x = √(2·39,24/500) = 0,3962 m = 39,62 cm

Відповідь

x = 39,62 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 13,25 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Імпульс до удару

p = M·u = 10·18 = 180 kg·m/s

Імпульс після удару

180 = 2·37 + 8·v′₂

v′₂ = (180 − 74)/8 = 13,25 m/s

Відповідь

v′₂ = 13,25 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 35,11 °

Складові імпульсу

p_x = 800·16 = 12800 kg·m/s

p_y = 900·10 = 9000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 0,7031 → θ = 35,11°

Відповідь

θ = 35,11°

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 91,11 s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Сповільнення і час

α = T_b/I = 100/29 = 3,448 rad/s²

t = ω/α = 314,2/3,448 = 91,11 s

Відповідь

t = 91,11 s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: p = 28,57 %

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·11·5,5² = 166,4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·166,4 = 66,55 J

Частка обертання

p = 66,55/232,9·100% = c/(1 + c)·100% = 28,57%

Відповідь

p = 28,57 %

Частка залежить лише від форми, а не від маси чи швидкості.

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 2,262 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 11,31 m/s

Потужність

P = (400 − 200)·11,31 = 2262 W = 2,262 kW

Відповідь

P = 2,262 kW

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 568,9 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·16/30 = 1600 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1600·16/45 = 568,9 rpm

Відповідь

n_out = 568,9 rpm

загальне передаточне відношення = 5,273 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,723 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(470/1,9) = 15,73 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 15,73·√(0,13² − 0,07²) = 1,723 m/s

Відповідь

v = 1,723 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,36 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·50·0,13² = 0,4225 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·50·0,05² = 0,0625 J

Кінетична енергія

K = 0,4225 − 0,0625 = 0,36 J

Відповідь

K = 0,36 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1498

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(40/2,3) = 0,952

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,952/√(39,48 + 0,9063) = 0,1498

Відповідь

ζ = 0,1498

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,71 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11,54 kN/m

Власна частота

ω_n = √(11538/100) = 10,74 rad/s

f_n = 10,74/(2π) = 1,71 Hz

Відповідь

f_n = 1,71 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics