Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 108 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 108 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 55 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 24 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 55 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 17 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 17 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 40 m/s, і він має впасти на відстані 130 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 40 m/sR = 130 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 360 m зі швидкістю 100 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 360 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 260 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 260 mθ = 30°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 20 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 4,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 1 kgL = 1,1 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун віддає момент 740 N·m за частоти 800 rpm. Знайдіть його вихідну потужність P у kW.

T = 740 N·mn = 800 rpm

P = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

тонкий обруч котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 15°I = m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 40. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 7,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 40η = 97%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (36 зуб.). Колесо C (30 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 30B = 36C = 30D = 60

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 150 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 0,6 kgk = 150 N/mA = 6 cmx = 2 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,8 s і амплітудою 4 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 4 cm до зміщення 3 cm?

T = 2,8 sA = 4 cmx = 3 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 80 kg спирається на пружину жорсткістю 8 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 160 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 80 kgk = 8 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 6,667 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4,5 = 6,667 s

Відповідь

t = 6,667 s

2.Кінематика

Відповідь: y = 29,24 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

55 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 55/24 = 2,292 s

Висота зустрічі

y = 24·2,292 − ½·9,81·2,292² = 29,24 m

Відповідь

y = 29,24 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,627 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Відповідь

a = 5,627 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 27,9 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 15,94)/10 = 1,839 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·1,839 + 15,94 = 27,9 N

Відповідь

T = 27,9 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 26,43 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·130/40² = 0,7971

Кут

2θ = 52,85° → θ = 26,43°

Відповідь

θ = 26,43°

Інший розв’язок 90° − θ = 63,57°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 43,14 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 50 + 9,899·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,899 + √(98 + 981))/9,81 = 4,358 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 9,899·4,358 = 43,14 m

Відповідь

x = 43,14 m

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 12,32 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(360·9,81) = 0,2185

θ = 12,32°

Відповідь

θ = 12,32°

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 52,02 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(260·9,81·0,7598/0,716) = 52,02 m/s

Відповідь

v_max = 52,02 m/s

(187,3 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 11,32 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·20·(0,5 − 0,2·0,866)) = 11,32 m/s

Відповідь

v = 11,32 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,859 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(4,5 − 0,25·2) = 39,24 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Відповідь

v = 8,859 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,3158 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 4,5)/(5 + 4,5)·6 = 0,3158 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4,5)·6 = 6,316 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,3158 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 143,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 20°) = 0,06634 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,06634) = 1,141 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,008·1,141/0,008 = 143,7 m/s

Відповідь

v = 143,7 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P = 61,99 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·800/60 = 83,78 rad/s

Потужність

P = T·ω = 740·83,78 = 61994 W = 61,99 kW

Відповідь

P = 61,99 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 1,27 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/2 = 1,27 m/s²

Відповідь

a = 1,27 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 119,8 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 49,39·40/16·0,97 = 119,8 N·m

Відповідь

T₂ = 119,8 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1208 rpm

Перший ступінь

n_B = 2900·30/36 = 2417 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2417·30/60 = 1208 rpm

Відповідь

n_out = 1208 rpm

загальне передаточне відношення = 2,4 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,8944 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(150/0,6) = 15,81 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 15,81·√(0,06² − 0,02²) = 0,8944 m/s

Відповідь

v = 0,8944 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,3221 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/2,8 = 2,244 rad/s

Виразіть час

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,244 = 0,3221 s

Відповідь

t = 0,3221 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 160/1600 = 0,1

Відповідь

ζ = 0,1

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,775 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 20 = 45 kN/m

k_eq = 45·30/(45 + 30) = 18 kN/m

Власна частота

ω_n = √(18000/20) = 30 rad/s

f_n = 30/(2π) = 4,775 Hz

Відповідь

f_n = 4,775 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics