Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 20 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 3,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 20 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 6 s, потім їде зі сталою швидкістю 18 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 18 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 9,5 kg і 6 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 6 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 55° над горизонталлю, і він падає на відстані 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 55°R = 30 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 18 m/s під кутом 65° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 18 m/sθ = 65°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 95 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 95 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 280 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 280 mθ = 15°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 2 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 30° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 2 kgL = 3 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 8 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 2 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 10 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 6 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 10 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вал передає 75 kW за частоти 2100 rpm. Знайдіть крутний момент T у валу.

P = 75 kWn = 2100 rpm

T = N·m

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 30° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість v після того, як він прокотиться 3,5 m вздовж схилу.

θ = 30°s = 3,5 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 24, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 40. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 2,2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 24N₂ = 40η = 98%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 18 зубців, а кожен сателіт — 30 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 600 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 18N_p = 30n_s = 600 rpm

n_c = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,9 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 12 g, що летить зі швидкістю 400 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 4 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1500 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 12 gv = 400 m/sM = 4 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg спирається на пружину жорсткістю 40 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1470 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 150 kgk = 40 kN/mc = 1470 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 10 kN/m і k₂ = 10 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 228,6 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/3,5 = 11,43 s

Шлях

d = v·t = 20·11,43 = 228,6 m

Відповідь

d = 228,6 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 40 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 29,14 s

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 18/3,5 = 5,143 s

Загальний час

t = 6 + 18 + 5,143 = 29,14 s

Відповідь

t = 29,14 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,215 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (9,5 − 6)·9,81/(9,5 + 6) = 2,215 m/s²

Відповідь

a = 2,215 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 36,79 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/16 = 3,679 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·3,679 + 0 = 36,79 N

Відповідь

T = 36,79 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 17,7 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·30/sin 110°) = 17,7 m/s

Відповідь

v₀ = 17,7 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 18,56 m

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 18·sin 65° = 16,31 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 16,31²/(2·9,81) = 13,56 m

Висота над землею

H = 5 + 13,56 = 18,56 m

Відповідь

H = 18,56 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 25,54 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·95) = 25,54 m/s

Відповідь

v_max = 25,54 m/s (91,95 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 41,19 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(280·9,81·0,5486/0,8883) = 41,19 m/s

Відповідь

v_max = 41,19 m/s

(148,3 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 24,88 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 30°) = 7,886 m²/s²

Сили внизу

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·7,886/3 = 24,88 N

Відповідь

T = 24,88 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 24,88 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 19,05 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,25·1,5) = 45,37 J

Найбільше стиснення

½kx² = 45,37 → x = √(2·45,37/2500) = 0,1905 m = 19,05 cm

Відповідь

x = 19,05 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 168,3 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2)·1,253/0,015 = 168,3 m/s

Відповідь

v = 168,3 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(6 + 10) = 8 N·s

Відповідь

J = 8 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: T = 341 N·m

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2100/60 = 219,9 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 75000/219,9 = 341 N·m

Відповідь

T = 341 N·m

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 4,784 m/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Висота спуску

h = s·sin θ = 3,5·sin 30° = 1,75 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·1,75/1,5) = 4,784 m/s

Відповідь

v = 4,784 m/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 11,83 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 7,244·40/24·0,98 = 11,83 N·m

Відповідь

T₂ = 11,83 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 112,5 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·30 = 78

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −78/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·18/96 = 112,5 rpm

Відповідь

n_c = 112,5 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,416 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Відповідь

T = 3,416 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: A = 6,187 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,012·400/4,012 = 1,196 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/4,012) = 19,34 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,196/19,34 = 0,06187 m = 6,187 cm

Відповідь

A = 6,187 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,3001

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·150) = 4899 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1470/4899 = 0,3001

Відповідь

ζ = 0,3001

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 9,189 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 10 + 10 = 20 kN/m

k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16,67 kN/m

Власна частота

ω_n = √(16667/5) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Відповідь

f_n = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics