Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 15 kN у 2 mP₂ = 15 kN у 9 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (5 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A і зосередженою силою Q на відстані 4 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 5 mAD = 10 mP = 25 kN у 7 mQ = 75 kN у 4 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 15 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 30 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 13 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2 m має C_c = 0,45, C_r = 0,05 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і тиск попереднього ущільнення 140 kPa. Нова будівля додає 180 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 3 m має коефіцієнт консолідації c_v = 3 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 90% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,848. За скільки років t шар досягне 90% консолідації?

H = 3 mc_v = 3 m²/рікU = 90%T_v = 0,848двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,7 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 4 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,6 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,001. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (необроблений бетон) шириною 5 m має пропускати 7,2 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,6 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 7,2 m³/sb = 5 my = 0,6 mn = 0,014

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 80 m, а його вал споживає 19,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 20 L/sH = 80 mP_shaft = 19,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 22 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 17,5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 17,5%m = 4

EAR = %

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €25 000 через 10 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €25 0002,4% / 12N = 120

A = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €36 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €36 000g = 1%r = 8%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €28 500, €27 000, €23 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 27 000CF₃ = 23 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8198. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8198

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 16,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·2 + 15·9

R_B = 165/10 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 16,5 = 13,5 kN

Відповідь

R_B = 16,5 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 375 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 25·2

R_D = 10 kN

V_C = 25 − 10 = 15 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 75 + 15 = 90 kN

M_A = 75·4 + 15·5 = 375 kN·m

Відповідь

M_A = 375 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −37,27 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·4 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 33,33 = 16,67 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,33/0,8944 = −37,27 kN

Відповідь

F_BC = −37,27 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −42,43 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·5 + 30·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 30 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,7071 = −42,43 kN

Відповідь

F_BC = −42,43 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 30,5 kN, R₂ = 30,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 49, M_D = 64,5 kN·m, M_E = 49, M_F = 27,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 64,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 14,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 2·4·2

R_B = 61/4 = 15,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 23 − 15,25 = 7,75 kN

Де V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 1,75 kN

V(3⁺) = 1,75 − 15 = −13,25 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 7,75·3 − 2·3²/2 = 14,25 kN·m

Відповідь

M_max = 14,25 kN·m

Це в точці x = 3 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 7,491 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 7,491 mm

Відповідь

δ_max = 7,491 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 51,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2000² = 51404 N = 51,4 kN

Відповідь

P_cr = 51,4 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 37,37 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 37,37 mm

Відповідь

d = 37,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 112,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 6,106 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

стінка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·115 + 1400·50)/6200 = 100,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·30³/12 + 4800·(115 − 100,3)² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 100,3)² = 4,712 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,394 × 10⁶ + 4,712 × 10⁶ = 6,106 × 10⁶ mm⁴ = 6,106 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 6,106 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 6,418 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стінка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·267,5 + 3120·130)/7320 = 208,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 208,9)² = 1,45 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 208,9)² = 3,7 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,45 × 10⁷ + 3,7 × 10⁷ = 5,15 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 275 − 208,9 = 66,11 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·66,11/5,15 × 10⁷ = 6,418 MPa

Відповідь

σ_верх = 6,418 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 144,7 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19·9 = 233 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 233 − 88,29 = 144,7 kPa

Відповідь

σ′ = 144,7 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 71,1 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·2 + 20,5·1 + 18,5·3,5 = 115,3 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 115,3 − 44,15 = 71,1 kPa

Відповідь

σ′ = 71,1 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 156,6 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 180 = 260 kPa > 140 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,05·2/(1 + 0,7)·log₁₀(140/80) + 0,45·2/(1 + 0,7)·log₁₀(260/140)

S = 14,3 + 142,3 = 156,6 mm

Відповідь

S = 156,6 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 0,636 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 3/2 = 1,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·1,5²/3 = 0,636 роки

Відповідь

t = 0,636 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 29,43 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·3 = 29,43 kN

Відповідь

F = 29,43 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 148,3 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·6 = 148,3 kN

Відповідь

F = 148,3 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 104 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,2)·1,7²/(2·9,81) = 10,61 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·10,61 = 104040 Pa = 104 kPa

Відповідь

Δp = 104 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 10,2 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Сумарні втрати напору

h_f = 26,4·0,3046 = 8,041 m

h_m = 7,1·0,3046 = 2,163 m

Δz = h_f + h_m = 10,2 m

Відповідь

Δz = 10,2 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 3,784 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·0,6)·0,6 = 2,94 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 6,163 m

R = A/P = 0,477 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,477^2/3·0,001^1/2 = 1,287 m/s

Витрата

Q = A·V = 2,94·1,287 = 3,784 m³/s

Відповідь

Q = 3,784 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002972 m/m

Геометрія

A = b·y = 5·0,6 = 3 m²

P = b + 2y = 5 + 2·0,6 = 6,2 m

R = A/P = 0,4839 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·7,2/(3·0,6163) = 0,05452

S = 0,05452² = 0,002972

Відповідь

S = 0,002972

Це зниження на 2,972 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 80,08 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·80 = 15,7 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 15,7/19,6 = 80,08%

Відповідь

η = 80,08%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 29,31 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,2905 = 6,681 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 22 + 6,681 = 28,68 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·28,68/0,72 = 29,31 kW

Відповідь

P_shaft = 29,31 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 18,68 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,175/4 = 0,04375

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,04375)⁴ − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%

Відповідь

EAR = 18,68%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 184,5 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·10 = 120

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,002/(1,271 − 1) = €184,54

Відповідь

A = €184,54

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 114286 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 36 000/(0,08 − 0,01) = 514 285,71

NPV

NPV = 514 285,71 − 400 000 = €114 285,71

Відповідь

NPV = €114 285,71

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 45,44 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(45%) = 205,42

NPV(50%) = −2 037,04

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 45 + 5·205,42/(205,42 − (−2 037,04)) = 45,46%

точно: NPV(45,44%) = 0 → IRR = 45,44%

Відповідь

IRR = 45,44%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,34

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8198)/2 = 0,9099

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9099 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,34

Відповідь

z = 1,34

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil