Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 4 mP = 75 kN у 1,5 mM = 20 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 3 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (2,5 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A і зосередженою силою Q на відстані 1 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 15 kN у 4 mQ = 35 kN у 1 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 2 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 30 kN у 4 mw = 6 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 22 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 12 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 6,5 m має C_c = 0,4, C_r = 0,03 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2. Нова будівля додає 30 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 6,5 mC_c = 0,4C_r = 0,03e₀ = 0,85σ′₀ = 80 kPaOCR = 2Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8 m має коефіцієнт консолідації c_v = 3 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 8 mc_v = 3 m²/рікU = 50%T_v = 0,197однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 3 L/s трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 3 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 28 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 28 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 4,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 0,8 mn = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) з шириною по дну 5,5 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 24 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 24 m³/sb = 5,5 my = 1,6 mz = 2n = 0,014

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 74 m, а його вал споживає 15,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 15 L/sH = 74 mP_shaft = 15,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 8 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 20%m = 4

EAR = %

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €100 000 через 9 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €100 0002,4% / 12N = 108

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €8 000 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €5 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €8 000S = €5 000n = 7r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €17 000, €18 500, €20 000, €14 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 17 000CF₂ = 18 500CF₃ = 20 000CF₄ = 14 000

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 28,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

30.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 75% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 41,88 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 75·1,5 − 20 = 0

R_B = 132,5/4 = 33,13 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 75 − 33,13 = 41,88 kN

Відповідь

R_A = 41,88 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 6,429 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 15·1,5

R_D = 6,429 kN

V_C = 15 − 6,429 = 8,571 kN

Відповідь

R_D = 6,429 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 35,63 kN (T), BC: 41,25 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 20,62 kN (T), FG: 35,63 kN (C), GH: 20,62 kN (C), AF: 59,38 kN (C), HE: 34,37 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 34,38 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −28,28 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 + 20·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 20 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,7071 = −28,28 kN

Відповідь

F_AB = −28,28 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 15,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 108,3, M_C = 126,7 kN·m, M_D = 95, M_E = 63,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 126,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 108 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·4 + 6·8·4

R_B = 312/8 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 39 = 39 kN

Де V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 15 kN

V(4⁺) = 15 − 30 = −15 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 39·4 − 6·4²/2 = 108 kN·m

Відповідь

M_max = 108 kN·m

Це в точці x = 4 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 17,73 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 13,64 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008185 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17,73 mm

Відповідь

δ_B = 17,73 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 197,2 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·12) = 3,196 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,196 × 10⁷/50)^1/3 = 197,2 mm

Відповідь

h_req = 197,2 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,06 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/5000² = 21055 N = 21,06 kN

Відповідь

P_cr = 21,06 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 3,084 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/7,5 = 800

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Відповідь

σ_cr = 3,084 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1257·97,5)/(15000 − 1257) = 72,94 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·2,057² = 28,19 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24,56² = 0,8835 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 118,4 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·155 + 1680·70)/8880 = 138,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·30³/12 + 7200·(155 − 138,9)² = 2,402 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·140³/12 + 1680·(70 − 138,9)² = 1,072 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,402 × 10⁶ + 1,072 × 10⁷ = 1,313 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 170 − 138,9 = 31,08 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·31,08/1,313 × 10⁷ = 118,4 MPa

Відповідь

σ_верх = 118,4 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 129,5 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 18,5·8 = 208 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 208 − 78,48 = 129,5 kPa

Відповідь

σ′ = 129,5 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 132 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·2 + 18,5·3 + 17·2,5 = 132 kPa

Відповідь

σ = 132 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 14,58 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·80 = 160 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 30 = 110 kPa ≤ 160 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·6,5/(1 + 0,85)·log₁₀(110/80) = 14,58 mm

Відповідь

S = 14,58 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 4,203 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 8 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·8²/3 = 4,203 роки

Відповідь

t = 4,203 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,083 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m

Відповідь

y_cp = 4,083 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,7051 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 0,7051 m

Відповідь

h_f = 0,7051 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 71,31 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

28 = (29,33 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·28/33,73) = 4,036 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,036·0,01767 = 0,07131 m³/s = 71,31 L/s

Відповідь

Q = 71,31 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 3,776 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 4,5·0,8 = 3,6 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,8 = 6,1 m

R = A/P = 0,5902 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,5902^2/3·0,0005^1/2 = 1,049 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,6·1,049 = 3,776 m³/s

Відповідь

Q = 3,776 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0005132 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1,6)·1,6 = 13,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,6·√(1 + 2²) = 12,66 m

R = A/P = 1,1 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·24/(13,92·1,066) = 0,02265

S = 0,02265² = 0,0005132

Відповідь

S = 0,0005132

Це зниження на 0,5132 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 69,8 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 10,89/15,6 = 69,8%

Відповідь

η = 69,8%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 17,01 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1859 = 10,78 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 8 + 10,78 = 18,78 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·18,78/0,65 = 17,01 kW

Відповідь

P_shaft = 17,01 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 21,55 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,2/4 = 0,05

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,05)⁴ − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%

Відповідь

EAR = 21,55%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 830,4 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·9 = 108

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,002/(1,241 − 1) = €830,45

Відповідь

A = €830,45

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −8487 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

8 000·4,868 = 38 947,35

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

5 000/1,949 = 2 565,79

NPV

NPV = −50 000 + 38 947,35 + 2 565,79 = −€8 486,86

Відповідь

NPV = −€8 486,86

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 19,3 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

17 000·1,1³ = 22 627,00

18 500·1,1² = 22 385,00

20 000·1,1¹ = 22 000,00

14 000·1,1⁰ = 14 000,00

TV = 81 012,00

MIRR

MIRR = (81 012,00/40 000)^1/4 − 1 = 19,3%

Відповідь

MIRR = 19,3%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9306

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Відповідь

P = 0,9306

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 246,7 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Відповідь

x = 246,7 g

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil