Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP₁ = 40 kN у 2 mP₂ = 20 kN у 4 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP = 15 kN у 3,5 mw = 10 kN/m від 0 до 3 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 25 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 8 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 6 m60 kN @ 1 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 11 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 23 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 180 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 180 mmH = 380 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2 m має C_c = 0,4, C_r = 0,02 і e₀ = 1,2. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 65 kPa і тиск попереднього ущільнення 165 kPa. Нова будівля додає 160 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2 mC_c = 0,4C_r = 0,02e₀ = 1,2σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 4,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 0,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 4,5 mc_v = 0,5 m²/рікU = 80%T_v = 0,567однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,7 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 38 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 38 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 600 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 4,5 m має пропускати 11 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 11 m³/sb = 4,5 my = 2 mn = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 34 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 15 L/sH = 34 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 7 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 20%m = 12

EAR = %

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 25 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €504,8% / 12N = 300

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €22 000, €22 000, €26 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 22 000CF₃ = 26 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 000, €16 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 16 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 175,9 і 190,6 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 175,9x₂ = 190,6

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 26,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 20·4

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26,67 = 33,33 kN

Відповідь

R_B = 26,67 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 28,75 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3,5 + 10·3·1,5

R_B = 97,5/6 = 16,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 16,25 = 28,75 kN

Відповідь

R_A = 28,75 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −49,48 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0,9701 = −49,48 kN

Відповідь

F_BC = −49,48 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = 2,253 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 + 30·2 → C_y = 56,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 56,25 = −1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−1,25/0,5547 = 2,253 kN

Відповідь

F_AB = 2,253 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2,5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −2,5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −2,5·8 + 25 = 5 kN·m

Відповідь

M_x = 5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 53,5 kN, R₂ = 53,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 49,5 kN·m, M_C = 31, M_D = 4,5, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = 49,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 9,802 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·2000²·4000²/(3·3,99 × 10¹²·6000) = 9,802 mm

Відповідь

δ_P = 9,802 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 19,17 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 23000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·4,6 × 10¹²) = 19,17 mm

Відповідь

δ_mid = 19,17 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 19,31 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1400² = 19311 N = 19,31 kN

Відповідь

P_cr = 19,31 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 28,69 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стінка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·207,5 + 3600·100)/6000 = 143 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·15³/12 + 2400·(207,5 − 143)² = 1,003 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 143)² = 1,866 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,003 × 10⁷ + 1,866 × 10⁷ = 2,869 × 10⁷ mm⁴ = 28,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 28,69 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 37,19 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 380 − 2·12 = 356 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·380³ − 168·356³)/12

I_x = 1,914 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 190 − 12 = 178 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·178/1,914 × 10⁸ = 37,19 MPa

Відповідь

σ_j = 37,19 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 19,62 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Відповідь

u = 19,62 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 53,96 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Відповідь

u = 53,96 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 56,34 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 65 + 160 = 225 kPa > 165 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,02·2/(1 + 1,2)·log₁₀(165/65) + 0,4·2/(1 + 1,2)·log₁₀(225/165)

S = 7,356 + 48,98 = 56,34 mm

Відповідь

S = 56,34 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 22,96 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 4,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4,5²/0,5 = 22,96 роки

Відповідь

t = 22,96 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 98,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

Відповідь

F = 98,1 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,188 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2,25/(4·3) = 4,188 m

Відповідь

y_cp = 4,188 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 2187 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,05)·2,7²/(2·9,81) = 222,9 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·222,9 = 2,187 × 10⁶ Pa = 2187 kPa

Відповідь

Δp = 2187 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 154,8 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

38 = (18 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/30,7) = 4,928 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,928·0,03142 = 0,1548 m³/s = 154,8 L/s

Відповідь

Q = 154,8 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,3883 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,004^1/2 = 1,373 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,2827·1,373 = 0,3883 m³/s

Відповідь

Q = 0,3883 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008651 m/m

Геометрія

A = b·y = 4,5·2 = 9 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·2 = 8,5 m

R = A/P = 1,059 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·11/(9·1,039) = 0,02941

S = 0,02941² = 0,0008651

Відповідь

S = 0,0008651

Це зниження на 0,8651 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 8,122 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·34 = 5,003 kW

Потужність на валу

P_shaft = 5,003/0,7 = 7,147 kW

Електрична потужність

P_el = 7,147/0,88 = 8,122 kW

Відповідь

P_el = 8,122 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 22,62 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0,2905 = 14,52 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 7 + 14,52 = 21,52 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·21,52/0,7 = 22,62 kW

Відповідь

P_shaft = 22,62 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 21,94 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,2/12 = 0,01667

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,01667)¹² − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%

Відповідь

EAR = 21,94%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 28902 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·25 = 300

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,312 − 1)/0,004 = €28 902,24

Відповідь

FV = €28 902,24

Самі ви внесли €15 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2165 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 22 000/1,06 = 20 754,72

CF₂/(1 + 0,06)² = 22 000/1,124 = 19 579,92

CF₃/(1 + 0,06)³ = 26 000/1,191 = 21 830,10

Додайте

NPV = €2 164,74

Відповідь

NPV = €2 164,74

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 11,3 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 454,55

NPV(15%) = −1 219,28

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−1 219,28)) = 11,36%

точно: NPV(11,3%) = 0 → IRR = 11,3%

Відповідь

IRR = 11,3%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,582

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,3) = 0,9641 − 0,3821 = 0,582

Відповідь

P = 0,582

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil