Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN у 2 mP₂ = 15 kN у 3 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP = 55 kN у 1 mw = 12 kN/m від 1 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP₁ = 10 kN у 3 mP₂ = 55 kN у 3,5 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 30 kN у 5 mw = 2 kN/m від 0 до 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5,5 m має C_c = 0,3, C_r = 0,02 і e₀ = 1,15. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 110 kPa і тиск попереднього ущільнення 170 kPa. Нова будівля додає 35 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5,5 mC_c = 0,3C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 90% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,848. За скільки років t шар досягне 90% консолідації?

H = 6,5 mc_v = 1,5 m²/рікU = 90%T_v = 0,848однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,1 m/s горизонтальною трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,1 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) має ширину по дну 5 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5 my = 1,2 mz = 3n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (гравій) з шириною по дну 4 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 37 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 37 m³/sb = 4 my = 2,5 mz = 2n = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 78% подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 80 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sH = 80 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 23 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 23 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €50 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €50 0006% / 12n = 6

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €250 0003,6% / 12N = 300

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €7 500 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €4 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €7 500S = €4 000n = 7r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €29 000, €31 500, €20 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 000CF₂ = 31 500CF₃ = 20 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 171 і 185,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 185,35

P =

30.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 15 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 15·3

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Відповідь

R_B = 15 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 33,13 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 12·5·3,5

R_B = 265/8 = 33,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 33,13 = 81,88 kN

Відповідь

R_B = 33,13 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 27,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,4472 = −30,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30,75)·0,8944 = 27,5 kN

Відповідь

F_AC = 27,5 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −11,25 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 − 20·2 → C_y = −7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −7,5 = 17,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Вузол C

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−7,5/0,5547 = 13,52 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(13,52)·0,8321 = −11,25 kN

Відповідь

F_AC = −11,25 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 66,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 55·3,5

R_B = 222,5/5 = 44,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 44,5 = 20,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·3 = 20,5·3 = 61,5 kN·m

під P₂: M = R_B·1,5 = 44,5·1,5 = 66,75 kN·m

Найбільше значення

M_max = 66,75 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 66,75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 71,25 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 2·8·4

R_B = 214/8 = 26,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 26,75 = 19,25 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 19,25·5 − 2·5·2,5 = 71,25 kN·m

Відповідь

M_x = 71,25 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 12,24 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 12,24 mm

Відповідь

δ_max = 12,24 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·70000·5,556) = 8,036 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 160,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160,2 kN

Відповідь

P_cr = 160,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 28,34 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 28,34 mm

Відповідь

d = 28,34 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 141,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1257·80)/(20000 − 1257) = 101,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,341² = 66,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−21,34² = 0,698 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 109,4 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стінка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·172,5 + 2880·80)/6380 = 130,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·25³/12 + 3500·(172,5 − 130,7)² = 6,285 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 130,7)² = 1,356 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,285 × 10⁶ + 1,356 × 10⁷ = 1,984 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 185 − 130,7 = 54,26 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·54,26/1,984 × 10⁷ = 109,4 MPa

Відповідь

σ_верх = 109,4 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 82,95 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20·5 = 132 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 132 − 49,05 = 82,95 kPa

Відповідь

σ′ = 82,95 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 103,1 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·4 + 20,5·1 + 18,5·3,5 = 147,3 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 147,3 − 44,15 = 103,1 kPa

Відповідь

σ′ = 103,1 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 6,138 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 110 + 35 = 145 kPa ≤ 170 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·5,5/(1 + 1,15)·log₁₀(145/110) = 6,138 mm

Відповідь

S = 6,138 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 23,89 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 6,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·6,5²/1,5 = 23,89 роки

Відповідь

t = 23,89 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 51,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN

Відповідь

F = 51,5 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 54,08 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·2,5 = 54,08 kN

Відповідь

F = 54,08 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 6,615 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 0,6743 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,6743 = 6615 Pa = 6,615 kPa

Відповідь

Δp = 6,615 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 1,018 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Сумарні втрати напору

h_f = 13,33·0,05738 = 0,7651 m

h_m = 4,4·0,05738 = 0,2525 m

Δz = h_f + h_m = 1,018 m

Відповідь

Δz = 1,018 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 35,36 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,2)·1,2 = 10,32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 12,59 m

R = A/P = 0,8197 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,8197^2/3·0,003^1/2 = 3,427 m/s

Витрата

Q = A·V = 10,32·3,427 = 35,36 m³/s

Відповідь

Q = 35,36 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·2,5)·2,5 = 22,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 15,18 m

R = A/P = 1,482 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·37/(22,5·1,3) = 0,03162

S = 0,03162² = 0,001

Відповідь

S = 0,001

Це зниження на 1 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 60,37 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·80 = 47,09 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 47,09/0,78 = 60,37 kW

Відповідь

P_shaft = 60,37 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 36,06 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,408 = 13,06 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 23 + 13,06 = 36,06 m

Відповідь

H = 36,06 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 34915 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,432 = €34 915,12

Відповідь

PV = €34 915,12

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1265 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·25 = 300

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,4071

A = 250 000·0,003/(1 − 0,4071) = €1 265,01

Відповідь

A = €1 265,01

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −1434 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

7 500·4,868 = 36 513,14

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

4 000/1,949 = 2 052,63

NPV

NPV = −40 000 + 36 513,14 + 2 052,63 = −€1 434,23

Відповідь

NPV = −€1 434,23

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 30,07 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 50,07

NPV(35%) = −3 105,73

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·50,07/(50,07 − (−3 105,73)) = 30,08%

точно: NPV(30,07%) = 0 → IRR = 30,07%

Відповідь

IRR = 30,07%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6945

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1) = 0,8531 − 0,1587 = 0,6945

Відповідь

P = 0,6945

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Відповідь

x = 173,3 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil