Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 30 kN у 2 mP₂ = 15 kN у 3,5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 8 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 1,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 35 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP₁ = 20 kN у 2 mP₂ = 55 kN у 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 55 kN у 1 mw = 5 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 9 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 30 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5,5 m має C_c = 0,45, C_r = 0,05 і e₀ = 0,65. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 60 kPa і тиск попереднього ущільнення 180 kPa. Нова будівля додає 75 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5,5 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 75 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 10 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 9 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 9 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 30 L/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 30 L/sL = 800 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 0,2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,001. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 2,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 1,8 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,8 m³/sb = 2,5 my = 0,7 mz = 1n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 52 m. ККД насоса 82%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 52 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 28 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 28 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 4 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €40 0006% / 12n = 4

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €12 0005,4% / 12N = 72

A = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €31 000, €21 000, €25 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 21 000CF₃ = 25 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €8 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 10. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €8 000g = 3%n = 10r = 8%

NPV = €

29.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 442 і 582 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 582

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 15·3,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Відповідь

R_B = 22,5 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 85,83 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1,667 + 35·1,5 = 85,83 kN·m

Відповідь

M_A = 85,83 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −16,01 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 → C_y = 50 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 50 = 10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0,6247 = −16,01 kN

Відповідь

F_AB = −16,01 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −38,21 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 20·3 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 13,75 = 36,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −36,25/0,9487 = −38,21 kN

Відповідь

F_AB = −38,21 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 52 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2 + 55·4

R_B = 260/5 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 52 = 23 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2 = 23·2 = 46 kN·m

під P₂: M = R_B·1 = 52·1 = 52 kN·m

Найбільше значення

M_max = 52 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 52 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 72,23 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 5·8·4

R_B = 215/8 = 26,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 26,88 = 68,13 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (68,13 − 55)/5 = 2,625 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 72,23 kN·m

Відповідь

M_max = 72,23 kN·m

Це в точці x = 2,625 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 4 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·1000²·4000²/(3·2,4 × 10¹²·5000) = 4 mm

Відповідь

δ_P = 4 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 15,07 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 30000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·3000³/(48·2,52 × 10¹²) = 6,696 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 8,371 mm

Додайте

δ_max = 6,696 + 8,371 = 15,07 mm

Відповідь

δ_max = 15,07 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 226,6 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1400² = 226598 N = 226,6 kN

Відповідь

P_cr = 226,6 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 99,18 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 99,18 mm

Відповідь

d = 99,18 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 201,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 69,81 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стінка: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 4160·130)/9160 = 207,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 207,8)² = 2,12 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·260³/12 + 4160·(130 − 207,8)² = 4,86 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,12 × 10⁷ + 4,86 × 10⁷ = 6,981 × 10⁷ mm⁴ = 69,81 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 69,81 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 76,65 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стінка: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·207,5 + 4000·100)/8500 = 156,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·15³/12 + 4500·(207,5 − 156,9)² = 1,16 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·200³/12 + 4000·(100 − 156,9)² = 2,629 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,16 × 10⁷ + 2,629 × 10⁷ = 3,789 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 215 − 156,9 = 58,09 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·58,09/3,789 × 10⁷ = 76,65 MPa

Відповідь

σ_верх = 76,65 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 29,43 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Відповідь

u = 29,43 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 124 kPa

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·3 + 20,5·1 + 18·3 = 124 kPa

Відповідь

σ = 124 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 58,7 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 60 + 75 = 135 kPa ≤ 180 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·5,5/(1 + 0,65)·log₁₀(135/60) = 58,7 mm

Відповідь

S = 58,7 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 3600 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 9 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 10·(9/0,0125)² = 5,184 × 10⁶ min

t_field = 5,184 × 10⁶/1440 = 3600 днів

Відповідь

t = 3600 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 80,93 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3 = 80,93 kN

Відповідь

F = 80,93 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 370,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5·6 = 370,8 kN

Відповідь

F = 370,8 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 21,94 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,15)·1,698²/(2·9,81) = 21,94 m

Відповідь

h_f = 21,94 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 0,8226 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 10 + 1,6)·0,06529 = 0,8226 m

Відповідь

H = 0,8226 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 14,01 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,125 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 7,908 m

R = A/P = 0,9009 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,9009^2/3·0,001^1/2 = 1,967 m/s

Витрата

Q = A·V = 7,125·1,967 = 14,01 m³/s

Відповідь

Q = 14,01 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007875 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·0,7)·0,7 = 2,24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 4,48 m

R = A/P = 0,5 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·1,8/(2,24·0,63) = 0,02806

S = 0,02806² = 0,0007875

Відповідь

S = 0,0007875

Це зниження на 0,7875 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 52,94 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·52 = 40,81 kW

Потужність на валу

P_shaft = 40,81/0,82 = 49,77 kW

Електрична потужність

P_el = 49,77/0,94 = 52,94 kW

Відповідь

P_el = 52,94 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 29,08 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,408 = 14,69 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 28 + 14,69 = 42,69 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·42,69/0,72 = 29,08 kW

Відповідь

P_shaft = 29,08 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 31484 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,27 = €31 483,94

Відповідь

PV = €31 483,94

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 195,5 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,7238

A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €195,49

Відповідь

A = €195,49

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −9580 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 31 000/1,09 = 28 440,37

CF₂/(1 + 0,09)² = 21 000/1,188 = 17 675,28

CF₃/(1 + 0,09)³ = 25 000/1,295 = 19 304,59

Додайте

NPV = €−9 579,77

Відповідь

NPV = €−9 579,77

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −19599 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,08))¹⁰ = 0,6225

PV = 8 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6225) = 60 401,07

NPV

NPV = 60 401,07 − 80 000 = −€19 598,93

Відповідь

NPV = −€19 598,93

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9063

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

Відповідь

P = 0,9063

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 81,45 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 балів

Відповідь

x = 81,45 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil