Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP₁ = 10 kN у 3 mP₂ = 20 kN у 4 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 9 m від A під кутом 50° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 5 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.

L = 10 mP = 75 kN у 9 m, θ = 50°Q = 10 kN у 5 m

α = °

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN →

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть поперечну силу V_x безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mP₁ = 75 kN у 2,5 mP₂ = 15 kN у 7 mопори в x = 0 і x = 6 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 14 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 23 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 40 MPa на розтяг і 150 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 9,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7,5 m має C_c = 0,45, C_r = 0,02 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 45 kPa і тиск попереднього ущільнення 125 kPa. Нова будівля додає 190 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7,5 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,85σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 125 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 19 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 8 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 8,5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 19 mmt_lab = 8 minH = 8,5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,2 m/s горизонтальною трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,2 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 0,2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 1,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 1,5 my = 2,1 mz = 2n = 0,015S = 0,0015

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 6 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 42 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 42 m³/sb = 6 my = 2 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 12 m, а його вал споживає 9,8 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 12 mP_shaft = 9,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €10 000g = 1,5%r = 5,5%

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €200 0003% / 12N = 240

I = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €14 000, €15 000, €8 000, €10 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 15 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €24 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 10. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €24 000g = 5%n = 10r = 10%

NPV = €

29.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 65,5 і 85,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 65,5x₂ = 85,5

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 16,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·3 + 20·4

R_B = 110/8 = 13,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 13,75 = 16,25 kN

Відповідь

R_A = 16,25 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: α = 12,57 °

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 75·sin 50° = 57,45 kN

P_h = 75·cos 50° = 48,21 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·10 = 57,45·9 + 10·5 → R_B = 56,71 kN

A_y = 57,45 + 10 − 56,71 = 10,75 kN

A_x = P_h = 48,21 kN

Напрямок у A

α = atan(A_y/A_x) = atan(10,75/48,21) = 12,57°

Відповідь

α = 12,57°

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 6,563 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,9701 = −27,06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27,06)·0,2425 = 6,563 kN

Відповідь

F_AC = 6,563 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 47,5 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 3,536 kN (C), HC: 3,536 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −33,75 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·2,5 + 15·7

R_B = 292,5/6 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 48,75 = 41,25 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

V_x = R_A − P₁ = 41,25 − 75 = −33,75 kN

Відповідь

V_x = −33,75 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 34 kN, R₂ = 36 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 34, M_C = 68 kN·m, M_D = 42, M_E = 16, M_F = −10, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 68 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 1,406 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 14000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,9375 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0009375 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,406 mm

Відповідь

δ_B = 1,406 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,712 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·3000³/(48·1,68 × 10¹³) = 0,7701 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 0,9417 mm

Додайте

δ_max = 0,7701 + 0,9417 = 1,712 mm

Відповідь

δ_max = 1,712 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 558,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Відповідь

P_cr = 558,1 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 93,98 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 93,98 mm

Відповідь

d = 93,98 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 255,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 49,71 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стінка: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·232,5 + 3520·110)/10520 = 191,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·25³/12 + 7000·(232,5 − 191,5)² = 1,213 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·220³/12 + 3520·(110 − 191,5)² = 3,758 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,213 × 10⁷ + 3,758 × 10⁷ = 4,971 × 10⁷ mm⁴ = 49,71 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 49,71 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 2,743 kN·m

Центр ваги

ȳ = (2400·130 + 1680·60)/4080 = 101,2 mm

верхній край: c = 140 − 101,2 = 38,82 mm

Момент інерції перерізу

I = 120·20³/12 + 2400·28,82² + 14·120³/12 + 1680·41,18² = 6,938 × 10⁶ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 150·6,938 × 10⁶/38,82 = 26,81 kN·m

нижній край: M = 40·6,938 × 10⁶/101,2 = 2,743 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 2,743 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 2,743 kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 66,95 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 20·5 = 116 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 116 − 49,05 = 66,95 kPa

Відповідь

σ′ = 66,95 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 83,39 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8,5 = 83,39 kPa

Відповідь

u = 83,39 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 536,1 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 45 + 190 = 235 kPa > 125 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,02·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(125/45) + 0,45·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(235/125)

S = 35,98 + 500,2 = 536,1 mm

Відповідь

S = 536,1 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 4448 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 8,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 8·(8,5/0,0095)² = 6,404 × 10⁶ min

t_field = 6,404 × 10⁶/1440 = 4448 днів

Відповідь

t = 4448 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 95,65 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Відповідь

F = 95,65 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,667 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·4,5 = 174,8 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 3,375/(4,5·4,5) = 4,667 m

Відповідь

y_cp = 4,667 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 17,75 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,15)·2,2²/(2·9,81) = 1,809 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,809 = 17747 Pa = 17,75 kPa

Відповідь

Δp = 17,75 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 0,8909 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 8,8 + 1,9)·0,07615 = 0,8909 m

Відповідь

H = 0,8909 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 32,91 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·2,1)·2,1 = 11,97 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 10,89 m

R = A/P = 1,099 m

Швидкість

V = (1/0,015)·1,099^2/3·0,0015^1/2 = 2,75 m/s

Витрата

Q = A·V = 11,97·2,75 = 32,91 m³/s

Відповідь

Q = 32,91 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001969 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2)·2 = 24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 3²) = 18,65 m

R = A/P = 1,287 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·42/(24·1,183) = 0,04437

S = 0,04437² = 0,001969

Відповідь

S = 0,001969

Це зниження на 1,969 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 60,06 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·12 = 5,886 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 5,886/9,8 = 60,06%

Відповідь

η = 60,06%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 11,58 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,1291 = 2,582 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 9 + 2,582 = 11,58 m

Відповідь

H = 11,58 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 250000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,055 − 0,015) = 10 000/0,04 = €250 000,00

Відповідь

PV = €250 000,00

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 66207 €

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 240

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €1 109,20

Усього відсотків

I = N·A − P = 240·1109 − 200 000 = €66 206,85

Відповідь

I = €66 206,85

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 7965 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 14 000/1,1 = 12 727,27

CF₂/(1 + 0,1)² = 15 000/1,21 = 12 396,69

CF₃/(1 + 0,1)³ = 8 000/1,331 = 6 010,52

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 10 000/1,464 = 6 830,13

Додайте

NPV = €7 964,62

Відповідь

NPV = €7 964,62

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −21445 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,1))¹⁰ = 0,628

PV = 24 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,628) = 178 555,49

NPV

NPV = 178 555,49 − 200 000 = −€21 444,51

Відповідь

NPV = −€21 444,51

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4599

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (65,5 − 65)/10 = 0,05

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(0,05) = 0,9798 − 0,5199 = 0,4599

Відповідь

P = 0,4599

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil