Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 10 kN/m у B. Також на відстані 2 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 60 kN у 2 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 45 kN у 3,5 mw = 12 kN/m від 2 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 2 m55 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

15 kN @ 12 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 6 mw = 4 kN/m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 145 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 145 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,4, C_r = 0,02 і e₀ = 1. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 105 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 90 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,4C_r = 0,02e₀ = 1σ′₀ = 105 kPaOCR = 1,5Δσ = 90 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 4 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 6,5 mc_v = 4 m²/рікU = 60%T_v = 0,287двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,9 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,9 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 600 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 5,5 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 2,3 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 2,3 m³/sb = 5,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 54 m, а його вал споживає 15,1 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 20 L/sH = 54 mP_shaft = 15,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.

PV = €20 0005% / 12n = 2

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2505,4% / 12N = 252

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €19 000, €19 500, €13 500, €20 500 наприкінці років з 1 по 4. Вартість капіталу — 5 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 19 500CF₃ = 13 500CF₄ = 20 500

DPB = роки

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €10 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 10 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 29,5 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29,5 min

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 58,33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5,333 + 60·2

R_B = 41,67 kN

R_A = 100 − 41,67 = 58,33 kN

Відповідь

R_A = 58,33 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 58,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·3,5 + 12·4·4

R_B = 349,5/6 = 58,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 58,25 = 34,75 kN

Відповідь

R_B = 58,25 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 20,63 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,79)·0,8321 = 20,63 kN

Відповідь

F_AC = 20,63 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −54,08 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 − 30·3 → C_y = 0 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 0 = 45 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45/0,8321 = −54,08 kN

Відповідь

F_AB = −54,08 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 120, M_D = 145, M_E = 170 kN·m, M_F = 85, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 170 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 19 kN, R₂ = 51 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 38, M_C = 76, M_D = 114 kN·m, M_E = 42, M_F = −30, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 114 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 57,14 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 57,14 mm

Відповідь

δ = 57,14 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 9 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·6/8 = 9 kN

Відповідь

R_B = 9 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 233,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/750² = 233946 N = 233,9 kN

Відповідь

P_cr = 233,9 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 93,01 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 93,01 mm

Відповідь

d = 93,01 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 215, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 706,9·96)/(36000 − 706,9) = 120,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,4807² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−24,48² = 0,4634 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 144,2 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стінка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·145 + 2800·70)/5400 = 106,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(145 − 106,1)² = 3,954 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 106,1)² = 8,225 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,954 × 10⁶ + 8,225 × 10⁶ = 1,218 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 150 − 106,1 = 43,89 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·43,89/1,218 × 10⁷ = 144,2 MPa

Відповідь

σ_верх = 144,2 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 112 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 19,5·4 = 112 kPa

Відповідь

σ = 112 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 100,8 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·1 + 20,5·2 + 17,5·2,5 = 100,8 kPa

Відповідь

σ = 100,8 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 162,5 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·105 = 157,5 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 105 + 90 = 195 kPa > 157,5 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,02·8/(1 + 1)·log₁₀(157,5/105) + 0,4·8/(1 + 1)·log₁₀(195/157,5)

S = 14,09 + 148,4 = 162,5 mm

Відповідь

S = 162,5 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 0,7579 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 6,5/2 = 3,25 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3,25²/4 = 0,7579 роки

Відповідь

t = 0,7579 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,308 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·3 = 120,5 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,5625/(3,25·3) = 3,308 m

Відповідь

y_cp = 3,308 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 132,4 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,3)·1,9²/(2·9,81) = 13,49 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·13,49 = 132367 Pa = 132,4 kPa

Відповідь

Δp = 132,4 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 7,368 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Сумарні втрати напору

h_f = 25·0,2295 = 5,738 m

h_m = 7,1·0,2295 = 1,63 m

Δz = h_f + h_m = 7,368 m

Відповідь

Δz = 7,368 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,08683 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,0008^1/2 = 0,6142 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,1414·0,6142 = 0,08683 m³/s

Відповідь

Q = 0,08683 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001512 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 3,125 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 7,303 m

R = A/P = 0,4279 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,3/(3,125·0,5679) = 0,03888

S = 0,03888² = 0,001512

Відповідь

S = 0,001512

Це зниження на 1,512 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 70,16 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·54 = 10,59 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 10,59/15,1 = 70,16%

Відповідь

η = 70,16%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 11,46 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0,1291 = 6,455 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 5 + 6,455 = 11,46 m

Відповідь

H = 11,46 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 22099 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·2 = 24

Майбутня вартість

FV = 20 000·(1 + 0,004167)²⁴ = 20 000·1,105 = €22 098,83

Відповідь

FV = €22 098,83

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 116676 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·21 = 252

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(3,1 − 1)/0,0045 = €116 675,97

Відповідь

FV = €116 675,97

Самі ви внесли €63 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,152 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 19 000/1,05 = 18 095,24 → Σ = 18 095,24

рік 2: 19 500/1,103 = 17 687,07 → Σ = 35 782,31

рік 3: 13 500/1,158 = 11 661,81 → Σ = 47 444,12

рік 4: 20 500/1,216 = 16 865,40 → Σ = 64 309,52

Частка останнього року

DPB = 3 + 2 555,88/16 865,40 = 3,152

Відповідь

DPB = 3,152 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,852 років).

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 5,805 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 260,77

NPV(10%) = −1 280,99

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·260,77/(260,77 − (−1 280,99)) = 5,846%

точно: NPV(5,805%) = 0 → IRR = 5,805%

Відповідь

IRR = 5,805%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9706

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Відповідь

P = 0,9706

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil