Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 10 kN/m у B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mw₀ = 10 kN/m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (6 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 6 mAD = 10 mP = 60 kN у 7 mw = 4 kN/m від 6 до 10 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

F: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 5 kN/m від 0 до 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 55 kN у 1,5 mw = 4 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 8 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 21 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 72 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 6 m має C_c = 0,5, C_r = 0,05 і e₀ = 0,65. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 75 kPa і тиск попереднього ущільнення 155 kPa. Нова будівля додає 55 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 6 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 55 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 15 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 8,5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 8,5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 120 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 120 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 38 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 38 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 4,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 4,4 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 78% подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 70 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sH = 70 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 16 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 78%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €40 0002% / 4n = 6

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 14 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 14? Знайдіть FV.

A = €3 000i = 4%n = 14

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €13 000, €20 000, €10 000, €20 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 20 000CF₃ = 10 000CF₄ = 20 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €3 500, €3 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 000CF₃ = 3 500CF₄ = 3 500

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них перевищує 314,9 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8> 314,9 g

P =

30.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів20%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 16,67 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3,333

R_B = 16,67 kN

R_A = 25 − 16,67 = 8,333 kN

Відповідь

R_B = 16,67 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 23 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 4·4 = 16 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·1 + 16·2

R_D = 23 kN

V_C = 76 − 23 = 53 kN

Відповідь

R_D = 23 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 68,33 kN (T), BC: 76,67 kN (T), CD: 76,67 kN (T), DE: 51,67 kN (T), FG: 68,33 kN (C), GH: 51,67 kN (C), AF: 85,42 kN (C), HE: 64,58 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 38,75 kN (T), BG: 10,42 kN (C), DG: 31,25 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 15 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 7,071 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 60 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 25·4 − 5·4·2 = 60 kN·m

Відповідь

M_x = 60 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 59,06 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 4·4·2

R_B = 114,5/4 = 28,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 28,63 = 42,38 kN

Де V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 36,38 kN

V(1,5⁺) = 36,38 − 55 = −18,63 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 42,38·1,5 − 4·1,5²/2 = 59,06 kN·m

Відповідь

M_max = 59,06 kN·m

Це в точці x = 1,5 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,02 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·1000²·2000²/(3·1,76 × 10¹²·3000) = 2,02 mm

Відповідь

δ_P = 2,02 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 6,141 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 4,246 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,896 mm

Додайте

δ_max = 4,246 + 1,896 = 6,141 mm

Відповідь

δ_max = 6,141 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 67,38 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1250² = 67376 N = 67,38 kN

Відповідь

P_cr = 67,38 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,86 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Відповідь

d = 64,86 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 123,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стінка: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·205 + 1600·100)/3400 = 155,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·10³/12 + 1800·(205 − 155,6)² = 4,41 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·200³/12 + 1600·(100 − 155,6)² = 1,028 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,41 × 10⁶ + 1,028 × 10⁷ = 1,469 × 10⁷ mm⁴ = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1500·72)/(36000 − 1500) = 122,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,087² = 173 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·30³/12 + 1500·−50,09² = 3,876 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 98,1 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Відповідь

u = 98,1 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 58,86 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Відповідь

u = 58,86 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 43,43 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 75 + 55 = 130 kPa ≤ 155 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·6/(1 + 0,65)·log₁₀(130/75) = 43,43 mm

Відповідь

S = 43,43 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 7526 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 8,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 15·(8,5/0,01)² = 1,084 × 10⁷ min

t_field = 1,084 × 10⁷/1440 = 7526 днів

Відповідь

t = 7526 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 108,2 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·5 = 108,2 kN

Відповідь

F = 108,2 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,706 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,445²/(2·9,81) = 0,3046 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,25)·2,445²/(2·9,81) = 1,706 m

Відповідь

h_f = 1,706 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 221,9 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

38 = (28,8 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/36,5) = 4,52 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,52·0,04909 = 0,2219 m³/s = 221,9 L/s

Відповідь

Q = 221,9 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 1,378 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,005^1/2 = 2,438 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,5655·2,438 = 1,378 m³/s

Відповідь

Q = 1,378 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001534 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,2)·1,2 = 3,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 5,327 m

R = A/P = 0,6308 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,4/(3,36·0,7355) = 0,03917

S = 0,03917² = 0,001534

Відповідь

S = 0,001534

Це зниження на 1,534 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 52,82 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·70 = 41,2 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 41,2/0,78 = 52,82 kW

Відповідь

P_shaft = 52,82 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 26,65 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58,67 + 6)·0,408 = 26,39 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 16 + 26,39 = 42,39 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·42,39/0,78 = 26,65 kW

Відповідь

P_shaft = 26,65 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 35487 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·6 = 24

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,127 = €35 487,43

Відповідь

PV = €35 487,43

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 57071 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,04)¹⁴ − 1)/0,04 = 18,29

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 3 000·18,29·1,04 = €57 070,76

Відповідь

FV = €57 070,76

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −562,6 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 13 000/1,15 = 11 304,35

CF₂/(1 + 0,15)² = 20 000/1,322 = 15 122,87

CF₃/(1 + 0,15)³ = 10 000/1,521 = 6 575,16

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 20 000/1,749 = 11 435,06

Додайте

NPV = €−562,55

Відповідь

NPV = €−562,55

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 18,18 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

6 000·1,08³ = 7 558,27

4 000·1,08² = 4 665,60

3 500·1,08¹ = 3 780,00

3 500·1,08⁰ = 3 500,00

TV = 19 503,87

MIRR

MIRR = (19 503,87/10 000)^1/4 − 1 = 18,18%

Відповідь

MIRR = 18,18%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 320 g, σ_T = 1,2·√8 = 3,394 g

Стандартизуйте

z = (314,9 − 320)/3,394 = −1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 56,6 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,2

z з таблиці

z ≈ −0,84

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 балів

Відповідь

x = 56,6 балів

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil