Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP₁ = 55 kN у 2,5 mP₂ = 20 kN у 4 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP = 40 kN у 5 mw = 6 kN/m від 5 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

F: 35 kN ↓F: 20 kN →

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 6 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mw = 6 kN/m від 0 до 3 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 4 mP = 75 kN у 2 m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 60 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 60 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 180 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 180 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 180 mmh = 180 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,25, C_r = 0,06 і e₀ = 1,2. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 120 kPa і тиск попереднього ущільнення 170 kPa. Нова будівля додає 130 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 1,2σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 19 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 4 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 4 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 4 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,7 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,7 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 7 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (оброблений бетон) має ширину 3 m. Вода тече рівномірно з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 2,5 mn = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (чистий ґрунт) шириною 3,5 m має пропускати 13 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 13 m³/sb = 3,5 my = 1,4 mn = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 20 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 80 L/sH = 20 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €1 500i = 7%n = 8

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 12 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €507,2% / 12N = 144

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €9 000, €8 000, €12 000, €12 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €11 500, €11 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244,25 і 251,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 251,25

P =

30.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 38,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2,5 + 20·4

R_B = 217,5/6 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 36,25 = 38,75 kN

Відповідь

R_A = 38,75 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 23,3 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, прикладена в x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·5 + 6·1·5,5

R_B = 233/10 = 23,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 23,3 = 22,7 kN

Відповідь

R_B = 23,3 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 38,44 kN (T), BC: 50,62 kN (T), CD: 50,62 kN (T), DE: 40,31 kN (T), FG: 38,44 kN (C), GH: 40,31 kN (C), AF: 64,06 kN (C), HE: 67,19 kN (C), BF: 51,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 20,31 kN (C), DG: 17,19 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 41,25 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 13,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 13,75 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 19,45 kN (C), BF: 13,75 kN (C), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 19,45 kN (T), DG: 19,45 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 110, M_D = 165 kN·m, M_E = 140, M_F = 115, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 165 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 15,19 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·3·1,5

R_B = 27/6 = 4,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 4,5 = 13,5 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 13,5/6 = 2,25 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 13,5·2,25 − 6·2,25²/2 = 15,19 kN·m

Відповідь

M_max = 15,19 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 14,29 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 14,29 mm

Відповідь

δ = 14,29 mm

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 56,25 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Відповідь

M_A = 56,25 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 387,6 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1250² = 387578 N = 387,6 kN

Відповідь

P_cr = 387,6 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,86 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Відповідь

d = 64,86 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 123,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 64,6 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·168 = 4032 mm², y₂ = 12 + 168/2 = 96 mm

Центр ваги

ȳ = (2160·6 + 4032·96)/6192 = 64,6 mm

Відповідь

ȳ = 64,6 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 181,2 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

стінка: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·110 + 1600·50)/3600 = 83,33 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·20³/12 + 2000·(110 − 83,33)² = 1,489 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 83,33)² = 3,111 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,489 × 10⁶ + 3,111 × 10⁶ = 4,6 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 83,33 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·83,33/4,6 × 10⁶ = 181,2 MPa

Відповідь

σ_низ = 181,2 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 148 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20·5 = 148 kPa

Відповідь

σ = 148 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 49,05 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Відповідь

u = 49,05 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 185,3 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 120 + 130 = 250 kPa > 170 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·8/(1 + 1,2)·log₁₀(170/120) + 0,25·8/(1 + 1,2)·log₁₀(250/170)

S = 33 + 152,3 = 185,3 mm

Відповідь

S = 185,3 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 123,1 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 4/2 = 2 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 4·(2/0,0095)² = 177285 min

t_field = 177285/1440 = 123,1 днів

Відповідь

t = 123,1 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 77,25 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN

Відповідь

F = 77,25 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,818 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·2,25 = 76,48 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 0,4219/(2,75·2,25) = 2,818 m

Відповідь

y_cp = 2,818 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 9,908 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,3)·2,7²/(2·9,81) = 9,908 m

Відповідь

h_f = 9,908 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 148 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

7 = (8 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/15,1) = 3,016 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,016·0,04909 = 0,148 m³/s = 148 L/s

Відповідь

Q = 148 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 42,33 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 3·2,5 = 7,5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,5 = 8 m

R = A/P = 0,9375 m

Швидкість

V = (1/0,012)·0,9375^2/3·0,005^1/2 = 5,644 m/s

Витрата

Q = A·V = 7,5·5,644 = 42,33 m³/s

Відповідь

Q = 42,33 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004763 m/m

Геометрія

A = b·y = 3,5·1,4 = 4,9 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,4 = 6,3 m

R = A/P = 0,7778 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·13/(4,9·0,8457) = 0,06901

S = 0,06901² = 0,004763

Відповідь

S = 0,004763

Це зниження на 4,763 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 26,16 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·20 = 15,7 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 15,7/0,6 = 26,16 kW

Відповідь

P_shaft = 26,16 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 7,179 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 8)·0,1291 = 2,001 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 10 + 2,001 = 12 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·12/0,82 = 7,179 kW

Відповідь

P_shaft = 7,179 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 8957 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,582)/0,07 = 5,971

Теперішня вартість

PV = 1 500·5,971 = €8 956,95

Відповідь

PV = €8 956,95

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 11388 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·12 = 144

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,367 − 1)/0,006 = €11 387,62

Відповідь

FV = €11 387,62

Самі ви внесли €7 200; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2758 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 9 000/1,09 = 8 256,88

CF₂/(1 + 0,09)² = 8 000/1,188 = 6 733,44

CF₃/(1 + 0,09)³ = 12 000/1,295 = 9 266,20

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 12 000/1,412 = 8 501,10

Додайте

NPV = €2 757,62

Відповідь

NPV = €2 757,62

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 8,29 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 929,71

NPV(10%) = −454,55

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·929,71/(929,71 − (−454,55)) = 8,358%

точно: NPV(8,29%) = 0 → IRR = 8,29%

Відповідь

IRR = 8,29%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4736

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−1,15) = 0,5987 − 0,1251 = 0,4736

Відповідь

P = 0,4736

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 169 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Відповідь

x = 169 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil