Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 45 kN у 1,5 mP₂ = 55 kN у 6 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 4 mAD = 8 mP = 30 kN у 5 mw = 4 kN/m від 4 до 8 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN →

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть поперечну силу V_x безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP₁ = 70 kN у 1,5 mP₂ = 15 kN у 6 mопори в x = 0 і x = 4 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 55 kN у 7 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 2 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 120 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 120 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,3, C_r = 0,03 і e₀ = 1. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 65 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2,5. Нова будівля додає 170 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 1σ′₀ = 65 kPaOCR = 2,5Δσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 70% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?

H = 6,5 mc_v = 2 m²/рікU = 70%T_v = 0,403однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,3 m/s трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,3 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 10 L/s?

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) має ширину по дну 4 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4 my = 0,8 mz = 3n = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (чистий ґрунт) шириною 3,5 m має пропускати 27 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,4 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 27 m³/sb = 3,5 my = 2,4 mn = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 74 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 74 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 11 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €8 000i = 10%n = 11

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €10 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 5 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €10 0005,4% / 12N = 60

I = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €7 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €7 000g = 4%r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €10 000 приносить €2 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 8

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3328. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,3328

z =

30.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 5% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів5%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 88,33 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 45·1,5 + 55·6

R_B = 397,5/4,5 = 88,33 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 45 + 55 − 88,33 = 11,67 kN

Відповідь

R_B = 88,33 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 122 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 4·4 = 16 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·1 + 16·2

R_D = 15,5 kN

V_C = 46 − 15,5 = 30,5 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 30,5 = 30,5 kN

M_A = 30,5·4 = 122 kN·m

Відповідь

M_A = 122 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 6,667 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,9487 = −21,08 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−21,08)·0,3162 = 6,667 kN

Відповідь

F_AC = 6,667 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 54,17 kN (T), BC: 54,17 kN (T), CD: 35,83 kN (T), DE: 35,83 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 55,21 kN (C), HE: 44,79 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 11,46 kN (C), HC: 11,46 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −33,75 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·1,5 + 15·6

R_B = 195/4 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 48,75 = 36,25 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

V_x = R_A − P₁ = 36,25 − 70 = −33,75 kN

Відповідь

V_x = −33,75 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 58,44 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 3·8·4

R_B = 481/8 = 60,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 60,13 = 18,88 kN

Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 18,88·5,5 − 3·5,5·2,75 = 58,44 kN·m

Відповідь

M_x = 58,44 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 6,728 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 6,728 mm

Відповідь

δ_max = 6,728 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 5,079 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 2000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·8,4 × 10¹²) = 0,3175 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 4,762 mm

Додайте

δ_max = 0,3175 + 4,762 = 5,079 mm

Відповідь

δ_max = 5,079 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,721 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Відповідь

P_cr = 8,721 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 85,97 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 85,97 mm

Відповідь

d = 85,97 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 195,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,76 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стінка: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·205 + 3200·100)/6200 = 150,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·10³/12 + 3000·(205 − 150,8)² = 8,836 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·200³/12 + 3200·(100 − 150,8)² = 1,893 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,836 × 10⁶ + 1,893 × 10⁷ = 2,776 × 10⁷ mm⁴ = 27,76 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,76 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 9,306 kN·m

Центр ваги

ȳ = (2400·165 + 1600·80)/4000 = 131 mm

верхній край: c = 170 − 131 = 39 mm

Момент інерції перерізу

I = 240·10³/12 + 2400·34² + 10·160³/12 + 1600·51² = 1,037 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 35·1,037 × 10⁷/39 = 9,306 kN·m

нижній край: M = 120·1,037 × 10⁷/131 = 9,499 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 9,306 kN·m (верхній край)

Відповідь

M_allow = 9,306 kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 178 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·6 = 178 kPa

Відповідь

σ = 178 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 150 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·4 + 18,5·2 + 18·2,5 = 150 kPa

Відповідь

σ = 150 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 240 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·65 = 162,5 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 65 + 170 = 235 kPa > 162,5 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·8/(1 + 1)·log₁₀(162,5/65) + 0,3·8/(1 + 1)·log₁₀(235/162,5)

S = 47,75 + 192,3 = 240 mm

Відповідь

S = 240 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 8,513 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 6,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·6,5²/2 = 8,513 роки

Відповідь

t = 8,513 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 110,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Відповідь

F = 110,4 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 51,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·3 = 51,8 kN

Відповідь

F = 51,8 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 2,326 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,1)·1,3²/(2·9,81) = 2,326 m

Відповідь

h_f = 2,326 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,702 m

Швидкість

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Сумарні втрати напору

h_f = 20·0,08263 = 1,653 m

h_m = 12,7·0,08263 = 1,049 m

Δz = h_f + h_m = 2,702 m

Відповідь

Δz = 2,702 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 18,45 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·0,8)·0,8 = 5,12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,8·√(1 + 3²) = 9,06 m

R = A/P = 0,5651 m

Швидкість

V = (1/0,012)·0,5651^2/3·0,004^1/2 = 3,603 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,12·3,603 = 18,45 m³/s

Відповідь

Q = 18,45 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004921 m/m

Геометрія

A = b·y = 3,5·2,4 = 8,4 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·2,4 = 8,3 m

R = A/P = 1,012 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·27/(8,4·1,008) = 0,07015

S = 0,07015² = 0,004921

Відповідь

S = 0,004921

Це зниження на 4,921 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 18,15 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 10,89/0,6 = 18,15 kW

Відповідь

P_shaft = 18,15 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 10,96 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,1291 = 8,521 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 6 + 8,521 = 14,52 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·14,52/0,65 = 10,96 kW

Відповідь

P_shaft = 10,96 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 51960 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3505)/0,1 = 6,495

Теперішня вартість

PV = 8 000·6,495 = €51 960,49

Відповідь

PV = €51 960,49

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 1433 €

Щомісячний платіж

i = 0,0045, N = 60

A = 10 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰) = €190,55

Усього відсотків

I = N·A − P = 60·190,6 − 10 000 = €1 433,02

Відповідь

I = €1 433,02

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 16667 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 7 000/(0,1 − 0,04) = 116 666,67

NPV

NPV = 116 666,67 − 100 000 = €16 666,67

Відповідь

NPV = €16 666,67

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 18,62 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 10 000/2 500 = 4

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 18%: 4,078

i = 19%: 3,954

IRR = 18,62%

Відповідь

IRR = 18,62%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,43

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,3328)/2 = 0,6664

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6664 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,43

Відповідь

z = 0,43

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,6 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 балів

Відповідь

x = 48,6 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil