Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 35 kN у 3 mP₂ = 50 kN у 6 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP = 50 kN у 4 mw = 3 kN/m від 1 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓C: 10 kN ↓D: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 15 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2 m від A. Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 3 mP = 30 kN у 2 mw = 6 kN/m від 0 до 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 12 m60 kN @ 4 m12 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 23 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 40 × 50 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 8 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,25, C_r = 0,05 і e₀ = 0,95. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і тиск попереднього ущільнення 140 kPa. Нова будівля додає 45 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 7 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 7 mc_v = 2,5 m²/рікU = 50%T_v = 0,197однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,1 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,1 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 300 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 250 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,9 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 56 m, а його вал споживає 33,8 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 40 L/sH = 56 mP_shaft = 33,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 12 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0003,6% / 4n = 7

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 10? Знайдіть залишок боргу B.

P = €200 0003,6% / 12N = 300k = 120

B = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 4 років, а його експлуатація коштує €1 500 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €30 000M = €1 500n = 4r = 12%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €25 500, €30 000, €17 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 500CF₂ = 30 000CF₃ = 17 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 171 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 192,35

P =

30.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 50,63 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 50·6

R_B = 405/8 = 50,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 50,63 = 34,38 kN

Відповідь

R_B = 50,63 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 14,8 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 3·4·3

R_B = 236/5 = 47,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 47,2 = 14,8 kN

Відповідь

R_A = 14,8 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 18,75 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 31,25 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 6,25 kN (T), HC: 6,25 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −4,243 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 15·2 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3/0,7071 = −4,243 kN

Відповідь

F_AB = −4,243 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −42 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −30·1 = −30 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_x = −30 − 12 = −42 kN·m

Відповідь

M_x = −42 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 65,5 kN, R₂ = 115,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 107, M_C = 166 kN·m, M_D = 57, M_E = −100, M_F = −50, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 166 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,268 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,268 mm

Відповідь

δ_max = 2,268 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 10,3 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·2500³/(48·1,32 × 10¹²) = 5,672 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 4,624 mm

Додайте

δ_max = 5,672 + 4,624 = 10,3 mm

Відповідь

δ_max = 10,3 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 27,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Відповідь

P_cr = 27,56 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 16,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/5 = 350

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 16,11 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,053² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−47,05² = 4,654 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,19 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 2000·90)/(15000 − 2000) = 72,69 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·2,308² = 28,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·50³/12 + 2000·17,31² = 1,016 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,19 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,19 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 91 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 19·3 = 91 kPa

Відповідь

σ = 91 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 29,43 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Відповідь

u = 29,43 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 14,91 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 45 = 125 kPa ≤ 140 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·3/(1 + 0,95)·log₁₀(125/80) = 14,91 mm

Відповідь

S = 14,91 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 3,861 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 7 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·7²/2,5 = 3,861 роки

Відповідь

t = 3,861 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 309 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Відповідь

F = 309 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,8 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3 = 110,4 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,5625/(3,75·3) = 3,8 m

Відповідь

y_cp = 3,8 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 441 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,075)·2,1²/(2·9,81) = 44,95 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·44,95 = 441000 Pa = 441 kPa

Відповідь

Δp = 441 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 4,759 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 20·0,1469 = 2,938 m

h_m = 12,4·0,1469 = 1,821 m

Δz = h_f + h_m = 4,759 m

Відповідь

Δz = 4,759 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,05297 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,003^1/2 = 0,7493 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07069·0,7493 = 0,05297 m³/s

Відповідь

Q = 0,05297 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005519 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1575)² = 0,005519

Відповідь

S = 0,005519

Це зниження на 5,519 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 65,01 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·56 = 21,97 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 21,97/33,8 = 65,01%

Відповідь

η = 65,01%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 27,04 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,3305 = 15,04 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 12 + 15,04 = 27,04 m

Відповідь

H = 27,04 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 3891 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·7 = 28

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,285 = €3 890,61

Відповідь

PV = €3 890,61

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 140595 €

Щомісячний платіж

i = 0,003, N = 300

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 012,01

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 300 − 120 = 180

B = 1012·(1 − (1 + 0,003)⁻¹⁸⁰)/0,003 = €140 594,70

Відповідь

B = €140 594,70

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 11377 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,12⁻⁴)/0,12 = 3,037

Ціна придбання, перерахована на рік

30 000/3,037 = 9 877,03

EAC

EAC = 9 877,03 + 1 500 = €11 377,03

Відповідь

EAC = €11 377,03

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 39,41 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(35%) = 2 259,31

NPV(40%) = −284,26

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 35 + 5·2 259,31/(2 259,31 − (−284,26)) = 39,44%

точно: NPV(39,41%) = 0 → IRR = 39,41%

Відповідь

IRR = 39,41%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8212

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(−1) = 0,9798 − 0,1587 = 0,8212

Відповідь

P = 0,8212

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 243,6 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Відповідь

x = 243,6 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil