Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 220 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm і піднімається на 5 m. У перерізі 1 тиск 370 kPa, а швидкість 1 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 0,9 m/s горизонтальною трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 0,9 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 0,2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 74 m, а його вал споживає 17,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 20 L/sH = 74 mP_shaft = 17,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 8 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 400 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 208,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Відповідь

F = 208,5 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,111 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Відповідь

y_cp = 3,111 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 197,3 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−22,72) = 197,3 kPa

Відповідь

p₂ = 197,3 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 313,4 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−7,5) − 49,05 = 313,4 kPa

Відповідь

p₂ = 313,4 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 12,15 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,1)·0,9²/(2·9,81) = 1,239 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,239 = 12150 Pa = 12,15 kPa

Відповідь

Δp = 12,15 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 0,7058 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 10 + 1,3)·0,05738 = 0,7058 m

Відповідь

H = 0,7058 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 82,03 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·74 = 14,52 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 14,52/17,7 = 82,03%

Відповідь

η = 82,03%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 61,26 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,3046 = 12,49 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 40,77 + 12,49 = 61,26 m

Відповідь

H = 61,26 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics