Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині
p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку
F = ρg·hc·A
Центр тиску
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямокутник
Ic = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність
A1v1 = A2v2
Бернуллі
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Витрата
Q = A·v
Площа круга
A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії
ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість
V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати
hm = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K
вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску
Δp = ρ·g·hf
Два відкриті резервуари
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Електрична потужність
Pel = Pshaft/ηmotor
Напір насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Втрати в системі
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня
затворd = 2 mH = 2,5 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гідростатична силаСкладна
затворd = 3 mH = 2,5 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Нерозривність і БернулліСередня
Q = ?d = 20 mm, Cd​ = 0,62h = 1,5 m

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 20 mm. Рівень води підтримують на 1,5 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,62. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 1,5 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Нерозривність і БернулліСкладна
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12Δh = 340 mmртутьQ = ?

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 80 mm, горловина 40 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 340 mm. Коефіцієнт витрати 0,95. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 340 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня
V = 2,1 m/sD = 100 mmL = 300 mf = 0,028

Вода тече із середньою швидкістю 2,1 m/s трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.

V = 2,1 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна
K = 5Δz = ?L = 300 m, D = 200 mm, f = 0,0154× коліно (K = 0,3)

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Насоси й потужність насосівСередня
PQ = 80 L/sH = 26 m

Під час випробування насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 26 m, а його вал споживає 24 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 80 L/sH = 26 mPshaft = 24 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насоси й потужність насосівСкладна
PQ = 50 L/sΔz = 20 mL = 300 m, D = 150 mm, f = 0,018, ΣK = 8

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 20 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 20 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 239,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
затворd = 2 mH = 2,5 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Відповідь

F = 239,1 kN
2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 197 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
затворd = 3 mH = 2,5 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,25·3,75 = 197 kN

Відповідь

F = 197 kN
3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 1,057 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·5,425 = 0,001057 m³/s = 1,057 L/s

Відповідь

Q = 1,057 L/s
4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 11,3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 40/80 = 0,5
v2 = √(2·42026/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,469 m/s

Дійсна витрата

Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,001257·9,469 = 0,0113 m³/s = 11,3 L/s

Відповідь

Q = 11,3 L/s
5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: hf = 18,88 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Дарсі–Вейсбах

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,1)·2,1²/(2·9,81) = 18,88 m

Відповідь

hf = 18,88 m
6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 5,614 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Сумарні втрати напору

hf = 22,5·0,1859 = 4,183 m
hm = 7,7·0,1859 = 1,432 m
Δz = hf + hm = 5,614 m

Відповідь

Δz = 5,614 m
7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 85,02 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·26 = 20,4 kW

ККД

η = Ph/Pshaft = 20,4/24 = 85,02%

Відповідь

η = 85,02%
8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 37,95 m

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,408 = 17,95 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + hL = 20 + 17,95 = 37,95 m

Відповідь

H = 37,95 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics