Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 200 mm шару (пінополістирол) і 25 mm шару (деревина), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 15 °C і -4 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 50 mm (цегла) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -13 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Протитечійний теплообмінник передає 170 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 115 до 45 °C, а холодний нагрівається з 15 до 70 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Q̇ = 170 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 115 → 45 °CTc: 15 → 70 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Пара конденсується за сталої температури 140 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 5 m² і U = 2500 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 30 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.
Ts = 140 °CA = 5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Ti = −3,523 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·20) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·20) = 0,007353 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,2931 = 64,83 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 64,83·0,2857 = −3,523 °C
Відповідь
Ti = −3,523 °C
2.Теплопровідність
Відповідь: U = 0,3644 W/(m²·K)
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,183 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,183) = 0,3644 W/(m²·K)
Відповідь
U = 0,3644 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 9,191 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Різниці температур на кінцях
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 70 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 30)/ln(45/30) = 36,99 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(500·36,99) = 9,191 m²
Відповідь
A = 9,191 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Tc,out = 125 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі
Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·5/(1,5·4180) = 1,994
Температура на виході
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,994 = 110·0,1362 = 14,98 K
Tc,out = 140 − 14,98 = 125 °C
Відповідь
Tc,out = 125 °C
Передана теплота: Q̇ = 595,8 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer