Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Пінополістирол, k = 0,035200 mmМінеральна вата, k = 0,0425 mm23 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (пінополістирол) і 25 mm шару (мінеральна вата), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 23 °C і -11 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Скло, k = 0,9650 mmДеревина, k = 0,17150 mmприміщення 22 °Cнадворі 4 °CQ̇ = ?

Стіна з 50 mm (скло) і 150 mm (деревина) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при 4 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT90 °C50 °C15 °C25 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 160 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 90 до 50 °C, а холодний нагрівається з 15 до 25 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 160 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 90 → 50 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT160 °C115 °C41,3 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 160 до 115 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 115 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = −7,648 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·6) = 0,1042 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/1,057 = 32,18 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 32,18·0,9524 = −7,648 °C

Відповідь

Ti = −7,648 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 246 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,07318 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (4))/0,07318 = 246 W

Відповідь

Q̇ = 246 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,344 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 25 = 25 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 25)/ln(75/25) = 45,51 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 160000/(1500·45,51) = 2,344 m²

Відповідь

A = 2,344 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,341 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·45 = 47,25 kW
Tc,out = 30 + 47,25/(1·4,18) = 41,3 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 41,3 = 118,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 30 = 85 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (118,7 − 85)/ln(118,7/85) = 100,9 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 47250/(200·100,9) = 2,341 m²

Відповідь

A = 2,341 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer