Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,17100 mmМінеральна вата, k = 0,0475 mm23 °C-1 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 100 mm шару (деревина) і 75 mm шару (мінеральна вата), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 23 °C і -1 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Цегла, k = 0,72250 mmПінополістирол, k = 0,035150 mmприміщення 22 °Cнадворі -3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 250 mm (цегла) і 150 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT140 °C55 °C20 °C40 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 240 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 140 до 55 °C, а холодний нагрівається з 20 до 40 °C. Коефіцієнт теплопередачі 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 240 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 140 → 55 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT95 °C35 °C26,51 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 95 до 35 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 35 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 77,95 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·8) = 0,2344 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,3079 = 77,95 W

Відповідь

Q̇ = 77,95 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 21,14 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·15) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,3222 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-3))/0,3222 = 77,59 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 77,59·0,01111 = 21,14 °C

Відповідь

Ts = 21,14 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 15,84 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 20 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 40 = 15 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 15)/ln(120/15) = 50,49 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(300·50,49) = 15,84 m²

Відповідь

A = 15,84 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 3,198 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·60 = 138 kW
Tc,out = 10 + 138/(2·4,18) = 26,51 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 26,51 = 68,49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,49 − 25)/ln(68,49/25) = 43,15 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(1000·43,15) = 3,198 m²

Відповідь

A = 3,198 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer