Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Пінополістирол, k = 0,035200 mmМінеральна вата, k = 0,04100 mm16 °C-2 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (пінополістирол) і 100 mm шару (мінеральна вата), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 16 °C і -2 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmГіпсокартон, k = 0,1775 mmприміщення 20 °Cнадворі -2 °CQ̇

Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 75 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C35 °C85 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 360 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 130 до 35 °C, а холодний нагрівається з 15 до 85 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 360 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 130 → 35 °CTc: 15 → 85 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT80 °C30 °C16,28 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 80 до 30 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 30 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 3,478 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/1,369 = 13,15 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 13,15·0,9524 = 3,478 °C

Відповідь

Ti = 3,478 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,3214 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,3111 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,3111) = 0,3214 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,3214 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 7,785 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 85 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 20)/ln(45/20) = 30,83 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(1500·30,83) = 7,785 m²

Відповідь

A = 7,785 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 6,957 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·50 = 52,5 kW
Tc,out = 10 + 52,5/(2·4,18) = 16,28 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 16,28 = 63,72 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (63,72 − 20)/ln(63,72/20) = 37,73 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 52500/(200·37,73) = 6,957 m²

Відповідь

A = 6,957 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer