Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72100 mmГіпсокартон, k = 0,1725 mm17 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (цегла) і 25 mm шару (гіпсокартон), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 17 °C і -1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 17 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4150 mmСкло, k = 0,96100 mmприміщення 22 °Cнадворі -10 °CQ̇

Стіна з 150 mm (бетон) і 100 mm (скло) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -10 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT120 °C65 °C90 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 110 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 120 до 65 °C, а холодний нагрівається від 20 до 90 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,8, а U = 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 110 kWF = 0,8U = 800 W/(m²·K)Th: 120 → 65 °CTc: 20 → 90 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT80 °C45 °C23,79 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 80 до 45 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 15 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 45 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 8,257 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,02383 = 755,4 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 755,4·0,01157 = 8,257 °C

Відповідь

Ti = 8,257 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 2,392 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,06966 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,06966) = 2,392 W/(m²·K)

Відповідь

U = 2,392 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,646 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 90 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 45)/ln(30/45) = 36,99 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 110000/(800·0,8·36,99) = 4,646 m²

Відповідь

A = 4,646 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,101 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·35 = 36,75 kW
Tc,out = 15 + 36,75/(1·4,18) = 23,79 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 23,79 = 56,21 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (56,21 − 30)/ln(56,21/30) = 41,74 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 36750/(800·41,74) = 1,101 m²

Відповідь

A = 1,101 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer