Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 200 mm шару (скло) і 50 mm шару (бетон), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 17 °C і 1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 200 mm (бетон) і 150 mm (цегла) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -11 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Протитечійний теплообмінник передає 490 kW. Його площа теплообміну 8 m². Гарячий теплоносій охолоджується від 115 до 55 °C, а холодний нагрівається від 20 до 90 °C. Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U.
Q̇ = 490 kWA = 8 m²Th: 115 → 55 °CTc: 20 → 90 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Пара конденсується за сталої температури 140 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 1,5 m² і U = 2500 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 15 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.
Ts = 140 °CA = 1,5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Ti = 3,341 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,04067 = 393,4 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 393,4·0,03472 = 3,341 °C
Відповідь
Ti = 3,341 °C
2.Теплопровідність
Відповідь: U = 1,9 W/(m²·K)
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·15) = 0,009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03508 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,03508) = 1,9 W/(m²·K)
Відповідь
U = 1,9 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: U = 2061 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Різниці температур на кінцях
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 90 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 35)/ln(25/35) = 29,72 K
Коефіцієнт теплопередачі
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 490000/(8·29,72) = 2061 W/(m²·K)
Відповідь
U = 2061 W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Tc,out = 71,27 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі
Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·1,5/(1,5·4180) = 0,5981
Температура на виході
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5981 = 125·0,5499 = 68,73 K
Tc,out = 140 − 68,73 = 71,27 °C
Відповідь
Tc,out = 71,27 °C
Передана теплота: Q̇ = 352,8 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer