Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,96100 mmДеревина, k = 0,1750 mm19 °C1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (скло) і 50 mm шару (деревина), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 19 °C і 1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Цегла, k = 0,72200 mmПінополістирол, k = 0,035100 mmприміщення 21 °Cнадворі 3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 200 mm (цегла) і 100 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при 3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT150 °C70 °C70 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 390 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 150 до 70 °C, а холодний нагрівається з 15 до 70 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 390 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 150 → 70 °CTc: 15 → 70 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT165 °C??30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику обидва потоки мають однакову повну теплоємність ṁ·cp = 2 kW/K. Гарячий потік входить при 165 °C, а холодний при 30 °C. Теплообмінник має A = 5 m² і U = 300 W/(m²·K). Знайдіть температуру гарячого потоку на виході Th,out.

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 165 °CTc,in = 30 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 14,29 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,06638 = 271,2 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 271,2·0,01736 = 14,29 °C

Відповідь

Ti = 14,29 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 20,1 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·6) = 0,0463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,5558 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (3))/0,5558 = 32,38 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 32,38·0,02778 = 20,1 °C

Відповідь

Ts = 20,1 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 3,897 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 70 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 55)/ln(80/55) = 66,72 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(1500·66,72) = 3,897 m²

Відповідь

A = 3,897 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: Th,out = 107,1 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Стала різниця температур

Вихід холодного потоку розташований навпроти входу гарячого: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), тож ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Енергетичний баланс дорівнює рівнянню теплопередачі

2·(165 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 30)
Th,out = (2·165 + 1,5·30)/(2 + 1,5) = 107,1 °C

Відповідь

Th,out = 107,1 °C

Передана теплота: Q̇ = 115,7 kW; холодний потік виходить при 87,86 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer