Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmПінополістирол, k = 0,035100 mm23 °C2 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 150 mm шару (мінеральна вата) і 100 mm шару (пінополістирол), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 23 °C і 2 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = 2 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Цегла, k = 0,72150 mmМінеральна вата, k = 0,0425 mmприміщення 20 °Cнадворі -12 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 150 mm (цегла) і 25 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -12 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT160 °C145 °C25 °C110 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 170 kW. Його площа теплообміну 20 m². Гарячий теплоносій охолоджується від 160 до 145 °C, а холодний нагрівається від 25 до 110 °C. Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U.

Q̇ = 170 kWA = 20 m²Th: 160 → 145 °CTc: 25 → 110 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT150 °C60 °C78,83 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 150 до 60 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 25 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 12,71 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/1,652 = 12,71 W

Відповідь

Q̇ = 12,71 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 16,69 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·10) = 0,0625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,09667 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-12))/0,09667 = 331 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 331·0,01 = 16,69 °C

Відповідь

Ts = 16,69 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: U = 114,7 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 160 − 25 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 145 − 110 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 35)/ln(135/35) = 74,08 K

Коефіцієнт теплопередачі

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 170000/(20·74,08) = 114,7 W/(m²·K)

Відповідь

U = 114,7 W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 5,519 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·90 = 225 kW
Tc,out = 25 + 225/(1·4,18) = 78,83 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 78,83 = 71,17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (71,17 − 35)/ln(71,17/35) = 50,96 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 225000/(800·50,96) = 5,519 m²

Відповідь

A = 5,519 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer